Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / Замкнутые классы
.pdf
ЗАМКНУТЫЕ КЛАССЫ
Лекция
Пост, Эмиль Леон
Математик
1897—1954 — американский математик и логик; один из основателей многозначной логики (1921);
основные труды по математической логике: алгебра Поста, классы Поста
функций алгебры логики;
предложил абстрактную вычислительную машину — машину Поста.
ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ
КЛАСС ТО
T0 = f P2 (n) f (0,0,...,0) = 0
Таблица истинности для функций, сохраняющих константу 0, в первой строке значений функций содержит 0, то имеется ровно таких функций. 22n −1
•Пример |
|
|
|
примерами булевых функций, сохраняющих |
|
||
константу 0, являются функции |
f0 |
, f1, , f7 |
|
|
|
||
|
|
•Теорема |
замкнут. |
0, x, x1 x2 , x1 x2 , x1 x2 T0 |
|
Класс T0 |
|
|
|
|
|
1, x, x1 → x2 , x1 x2 , x1 x2 T0
КЛАСС Т1
T1 = f P2 (n) f (1,1,...,1) =1
Определение К булевым функциям сохраняющим константу 1, относят такие
функции ( f1, f2 fn )
для которых справедливо соотношение |
f |
1, |
,1 =1 |
|
( |
) |
Примерами булевых функций, сохраняющих константу 1, являются функции
Поскольку таблица истинности для
функций, сохраняющих константу 1, в
последней строке значений функций Теорема Класс T1 замкнут содержит 1, то имеется ровно
КЛАСС М
Определение Функция
называется монотонной,
если для любых двух наборов значений входных переменных a
и b из того, a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
следует, что |
f (a) f (b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M = f P2 (n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f ( n |
) f ( n ), если n n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определение Булевы функции f1 |
(x1, x2 , , xn ) и f |
2 |
( |
x , x , |
, x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
n ) |
||
называются двойственными друг другу, если |
|
|
|
|
||||||||||||
выполняется соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f1 (x1, x2 , , xn ) = f2 (x1, x2 , |
|
|
, xn ) |
|
|||||||||||
Теорема Класс M замкнут
Замечание
Монотонными являются булевы функции
f0 , f1, f3 , f5 , f7 |
, f15 |
0, x, x1 |
x2 , x1 x2 М |
|
|
x, x1 → x2 М
•Замечание |
|
не является монотонной, так как |
Функция |
f |
|
|
2 |
|
|
|
f2 (1, 0) f2 (1,1) |
хотя набор <1,0> меньше, чем набор <1,1>.
У монотонных функций сокращенная ДНФ не содержит отрицаний переменных,
то есть все простые импликанты не содержат отрицаний.
СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ.
1. Нулевой набор значений сравним с любым набором, и является меньшим любого из них.
2. Если монотонная функция равна единице на нулевом наборе, то она равна единице и на любом наборе, т.е. равна константе.
3. Если на единичном наборе значений монотонная функция равна нулю, то она не может быть единицей ни на каком наборе, так как единичный набор больше всякого другого набора.
СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
4. Пусть функция на наборе a, отличном от единичного, равна 1, и пусть значение i-ой компоненты в нём равно 0. Это значит, что на наборе, который отличается только тем, что i-ая переменная в нём равна 1, функция тоже примет единичное значение.
5. В минимальной ДНФ монотонной функции нет переменных в инверсной форме.
6. Суперпозиция монотонных функций снова будет монотонной функцией, т.е. множества монотонных функций образует класс монотонных функций, обозначаемый как M.
ПРИМЕР
В таблице функции f1, f2 являются монотонными функциями, а функции f3, f4 – нет.
Если набор меньше другого набора, то он обязательно расположен в таблице истинности выше “большего” набора.
Если в таблице вверху стоят нули, а затем единицы, то эта функция является монотонной.
Однако возможны инверсии, т. е. единица стоит до каких-то нулей, но функция является все равно монотонной (в этом случае наборы, соответствующие “верхней” единице и “нижнему” нулю должны быть несравнимы