Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / Замкнутые классы

Теорема Функция монотонна тогда и только тогда, когда ее сокращенная ДНФ не содержит отрицаний

Пример Выяснить, являются ли функции монотонными:

f = 00100110; f = 00110111.

Решение

1. Сокращенная ДНФ для функции f = 00100110 имеет вид

Для f = 00110111

Поскольку сокращенная ДНФ содержит отрицания, то функция f = 00100110 не является монотонной.

f = 00110111. монотонна.

.

КЛАСС L

 Определение Класс линейных функций L составляют функции, которые представляются полиномом Жегалкина первой степени.

Линейными являются булевы функции

f10 = x2 = 1 + x2 f12 = x1 = 1 + x1 f15 = 1

Теорема (необходимое условие линейности).

Если функция линейна и не равна некоторой постоянной, то на половине своих наборов она равна 1.

Если в векторе значений функции число 0 и 1 различно, то функция обязательно нелинейна,

а если число нулей совпадает с числом единиц, то эта функция может быть линейной, а может быть и нелинейной.

Теорема Класс L замкнут

ПРИМЕР

функции f1, f2 - являются самодвойственными,

афункции f3, f4 – не являются.

ТЕОРЕМА ПОСТА

 Для того чтобы некоторый набор функций K был полным, необходимо и достаточно, чтобы в него входили функции, не принадлежащие каждому из классов T0, T1, L, M, S.

способ выяснения полноты некоторого набора функций.

Для каждой функций выясняется принадлежность к классам.

Результаты заносятся в таблицу Поста (знаком “+” отмечается принадлежность функции соответствующему классу, знак “–” означает, что функция в него не входит).

набор функций будет полным тогда и только тогда, когда в каждом столбце таблицы Поста имеется хотя бы один минус.

Пример 4 функции образуют полный набор, но эти функции не являются базисом.

Из этих функций можно образовать 2 базиса: f3, f1 и f3, f2.

Полными наборами будут любые наборы содержащие, какой-либо базис.

Сведем элементарные булевы функции двух переменных и некоторые функции одной переменной в таблицу, классифицируя каждую из них по признакам принадлежности к классам.

Определение Система булевых функций является ослабленно функционально полной,

если она содержит хотя бы одну нелинейную и хотя бы одну нелинейную и хотя бы одну немонотонную булеву функцию.

Примерами ослабленых ФПСБФ могут служить следующие системы: