Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / 1 полином Жегалкина1
.pdf
Лекция
Иван Иванович Жегалкин ( 1869- 1947) — российский и советский математик и логик. Из его открытий наибольшую известность получил так называемый полином Жегалкина
В логике Жегалкина используется строгая, разделительная дизъюнкция (соответствующая сложению в арифметике четного и нечетного).
Двоичное сложение – это отрицание эквивалентности
для бинарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полусумматорах
для тернарного сложения по модулю 2 (применяется в двоичных полных сумматорах):
Сложение по модулю 2
может быть: бинарной операцией, то есть иметь два операнда , тринарной операцией , то
есть иметь три операнда или n-арной операцией, т.е. иметь n операндов .
Строгая дизъюнкция |
|
А |
В |
А В |
высказываний А и В - |
|
и |
и |
л |
высказывание А В, истинное |
и |
л |
и |
|
лишь в случаях, когда А – |
л |
и |
и |
|
истинное и В – ложное |
|
л |
л |
л |
А В ≡ {Сейчас Ксюша в Москве или |
|
|
|
|
высказывание или А – ложное и |
|
|
|
|
|
|
|
||
Лондоне} |
В ≡ {Сейчас Ксюша в |
|
|
|
В – истинное высказывание. |
|
|
|
|
А ≡ {Сейчас Ксюша |
Лондоне} |
|
|
|
Москве} |
|
|
|
|
Операцию сложение по модулю нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи.
Сравните правила для этих операций:
истинно, если истинно или , или оба сразу.
истинно, если истинно или , но не оба сразу.
Операция сложение по модулю исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ».
Операция включает последний вариант («оба сразу») и по этой причине иногда называется включающим «ИЛИ».
Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях
Замечание В теории множеств сложению по модулю 2 соответствует операция симметричной разности двух множеств
|
Результат выполнения операции |
Замечание |
является истинным тогда и только |
тогда, когда лишь один из аргументов |
|
|
является истинным. Такая операция |
|
естественным образом возникает в |
|
кольце вычетов по модулю 2, откуда и |
|
происходит название операции |
|
–сложение по модулю два |
Запись может быть префиксной |
Запись инфиксная — знак |
(«польская запись») — знак операции |
|
ставится перед операндами |
операции ставится между |
|
операндами |
При числе операндов более 2-х префиксная запись экономичнее инфиксной записи
операция «сложение по модулю» эквивалентна двум выражениям:
«результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B)»;
«если A не равно B (A≠B), то истина
(1)».
конструкция «либо … либо …» в естественном языке.
Составное утверждение «либо A, либо B» считается истинным, когда истинно либо A, либо B, но не оба сразу; в противном случае составное утверждение ложно.
