Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / 1 полином Жегалкина1
.pdf
1. операция коммутативна:
2. операция ассоциативна:
3. операция дистрибутивна
4. операция не идемпотентна:
5. операции с 0
Определение Конъюнкции , входящие в многочлен Жегалкина, называются одночленами
Определение. Полином булевой функции F - представление F посредством
сложения по модулю два попарно различных элементарных конъюнкций. или полиномиальная нормальная форма (ПНФ) функции F.
Определение Степенью одночлена называется число входящих в него переменных (ранг конъюнкции).
Определение Степенью нелинейности (порядком)
многочлена Жегалкина функции
называют максимальную из степеней входящих в него многочленов
Разложение булевых функций в полином Жегалкина является основой для синтеза логических схем в базисе элементов И и СЛОЖЕНИЕ по МОДУЛЮ ДВА.
Определение Одночленом Жегалкина
называется представление формулой
Определение Многочленом Жегалкина называется представление двоичной функции
формулой вида: |
Всего здесь 2п слагаемых |
где
Полиномом булевой функции F, заданной вектором значений (00100111), является следующее выражение .
Определение Число конъюнкций, образующих полином, называется длиной полинома,
Определение Максимальный ранг элементарной конъюнкции - степень полинома
В приведенном выше примере длина полинома функции F равна 3, а степень равна 2.
Теорема Жегалкина Всякая булева функция существует и единственно представима единственным образом в виде полинома Жегалкина.
Покажем, что по таблице функции однозначно определяются коэффициенты её многочлена Жегалкина.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем последовательно вычислять значения искомого многочлена на наборе из одних нулей, затем на наборе с одной единицей, затем – с двумя, и т.д. В результате получим систему:
Из первого уравнения находим |
Легко видеть, что за каждую подстановку находим |
, из второго |
только один коэффициент. Так как число наборов |
равно числу коэффициентов (и равно 2п), отсюда |
|
|
следует утверждение теоремы. |
Методом неопределенных коэффициентов найти полином Жегалкина для функции
Замечание полином Жегалкина можно получить из ДНФ, выразив операции ИЛИ и НЕ через операции сложение по модулю два, и константу 1.
Пример Общий вид многочлена Жегалкина для трех переменных
Замечани
е
Чтобы выписать общий вид многочлена Жегалкина для нужного числа переменных нужно перебрать всевозможные конъюнкции переменных и сложить
их по модулю два друг с другом, а также с переменными , входящими
в функцию.
Перед каждой конъюнкцией расставить буквенные коэффициенты.