ТМ Контр раб 3 заоч
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет»
Кафедра «Механика и конструирование машин»
ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
Учебно-методическое пособие по выполнению контрольной работы по теоретической механике
УФА 2008
2
Учебно-методическое пособие составлено с учетом рабочих программ дисциплины «Теоретическая механика», преподаваемой студентам технических вузов. Оно поможет обучающимся закрепить теоретический материал и оценить свои знания по разделам теоретической механики «Динамика точки. Общие теоремы динамики». Приведены примеры выполнения заданий, варианты заданий для самостоятельного решения и вопросы для самоконтроля.
Составители: Садыков В.А., профессор, канд. техн. наук,
Аглиуллин М.Х., доцент, канд. техн. наук,
Имаева Э.Ш., доцент, канд. техн. наук
Рецензент |
Загорский В.К., профессор, док. техн. наук |
@ Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2008
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение |
4 |
|
Указания по выполнению и оформлению работы |
4 |
|
1 Задача Д1 |
5 |
|
1.1 |
Пример выполнения задания |
5 |
1.2 |
Задание для самостоятельной работы |
10 |
Вопросы для самоконтроля |
12 |
|
2 Задача Д2 |
13 |
|
2.1 |
Пример выполнения задания |
13 |
2.2 |
Задание для самостоятельной работы |
19 |
Вопросы для самоконтроля |
26 |
|
Приложение |
27 |
4
ВВЕДЕНИЕ
Целью учебно-методического пособия по выполнению контрольной работы №3 является оказание методической помощи студентам, изучающим разделы «Динамика точки. Общие теоремы динамики» в дисциплине «Теоретическая механика». Прикладные задачи этой темы применимы и в других разделах курса, а также в дисциплинах «Теория механизмов и машин», «Физика», «Детали машин», в ряде специальных дисциплин.
Контрольная работа №3 включает в себя две задачи:
-задача Д1 «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки»,
-задача Д2 «Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы».
Номер варианта чертежа и исходных данных соответствует порядковому номеру студента в списке группы.
УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТЫ
Контрольная работа выполняется на листах формата А4 в соответствии с ГОСТ 2.105-95. Поля очерчиваются рамкой (по ГОСТ 2.104), первый лист (с рамкой) – титульный (см. Приложение), все последующие листы (с рамкой) – с указанием порядкового номера страницы. Записи ведутся на лицевой стороне. Тыльная сторона – для замечаний и ответов при защите работы.
Выполнение работы начинается с записи исходных данных. В ходе решения задачи должен быть выполнен чертеж, на котором должны быть изображены все вектора скоростей, ускорений точек и действующих сил. Чертеж должен быть аккуратным, наглядным. Решение задачи необходимо сопровождать краткими разъяснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получены те или иные результаты), необходимо подробно излагать весь ход расчетов. В конце должны быть даны численные ответы.
В электронном варианте оформления контрольной работы допускается выполнение чертежа вручную с последующим его сканированием и вставкой в текстовый файл. Отпечатанный в MS Word (Open Office) текст может быть оформлен без соблюдения ГОСТ 2.104 (без рамок).
5
1 ЗАДАЧА Д1
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1.1 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Рассмотрим следующие случаи выражения силы, действующей на точку:
1)сила зависит от времени;
2)сила зависит от положения точки в пространстве;
3)сила зависит от скорости точки.
Пусть свободная материальная точка массой m движется под действием силы
F ib1 cos t jb2vy kb3z ,
где b1,b2,b3 - некоторые постоянные коэффициенты при начальных условиях
x0 0, y0 0,z0 0,vx0 0,v y0 0,vz0 0.
Необходимо определить уравнения движения точки в координатной форме. Запишем для этой точки дифференциальные уравнение в проекциях на
декартовы оси координат
m |
d 2 x |
b cos t |
||||||||
|
|
|||||||||
|
dt2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m |
d 2 y |
b v |
y |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
dt2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
(7) |
|||||
|
m |
d |
2z |
b |
3 |
z |
||||
|
dt2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Первое уравнение системы (7) можно представить в виде двух уравнений первого порядка
m dvx b1 cos t, dt
dx vx .
dt (8)
В первом уравнении связаны две переменные величины: проекция скорости на ось x и время. Разделяя переменные, получим
mdvx b1 cos tdt .
6
Слева и справа от знака равенства стоят дифференциалы некоторых функций. Если дифференциалы равны, то и интегралы равны с точностью до постоянной интегрирования
mdvx b1 cos tdt C1
После интегрирования получим
|
v |
x |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
sin t C |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
1 |
|
|
(9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
т.е. зависимость проекции скорости |
|
точки на |
ось x |
от |
времени. Из второго |
|||||||||||||||||
уравнения системы (8) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
b1 |
|
sin t C |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
m |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
Снова разделяя переменные, получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
dx ( |
|
b1 |
|
sin t C )dt |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
После интегрирования получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
b1 |
|
|
cos t C t C |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(10) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
Постоянные C1 и C2 |
определим по начальным условиям. Подставляя в |
|||||||||||||||||||||
выражение (10) значение координаты x при t 0, получаем |
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
b1 |
|
|
|
cos 0 C 0 C |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
m 2 . |
|
|
|
при t 0: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Постоянную C1 определим, подставляя в (9) значение vx |
0 b1 sin 0 C m 1,
отсюда C1 0.
Таким образом, решение первого уравнения системы (7) имеет вид
x |
b1 |
cos t |
b1 |
|
|
|
m 2 |
m 2 . |
(11) |
||||
|
|
Второе уравнение системы (7) также представляем в виде двух уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
dvy |
b v |
y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
v |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разделяя переменные в первом уравнении, получим |
|
|||||||||||||
m |
dvy |
b dt |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
v y |
2 |
|
|
|
lnv y |
|
|
t lnC3. |
|
||||
|
|
|
или |
m |
|
|||||||||
Решая относительно vy , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
v |
y |
C e |
m |
|
(13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
Учитывая второе уравнение системы (12) снова получаем
b2t
dy C e m dt 3 .
Разделяя переменные и интегрируя, получим
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
b2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y C |
|
e |
m |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 b |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
(14) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
Постоянные C3 |
и C4 определяем по начальным условиям. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
b 0 |
|
|
|
|
0 v |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
0 |
|
C v |
|
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
m e m C |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v y0 C3e |
m |
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
y0 |
|
|
|
, из (14) |
b |
|
|
|
|
|
|
|
, или |
b |
|||||||||||||||||
Из (13) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
||||||||||||||||
Таким образом, решение второго уравнения системы (7) имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
b2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y v |
|
e m |
v |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y0 b |
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
Третье уравнение системы (7) также представляем в виде двух уравнений
|
|
|
|
8 |
m |
dvz |
|
b z |
|
|
|
|||
|
|
dt |
3 |
|
dz |
|
|||
vz |
|
|||
|
(16) |
|||
dt |
В первом уравнении системы (16), связаны три переменных величины: скорость, время и координата точки. Чтобы разделить переменные необходимо исключить одну из них. Произведем замену
|
dvz |
|
dvz |
|
dz |
v |
z |
dvz |
|
|||
|
dt |
|
dz |
|
dt |
|
|
dz . |
||||
Тогда первое уравнение (16) примет вид |
|
dvz |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
mv |
z |
b z |
|||||
|
|
|
|
|
dz |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
Теперь можно разделить переменные
mvzdvz b3zdz .
|
mvz2 |
4 |
z2 |
C |
5 . |
Интегрируя, получим 2 |
|
||||
2 |
|
Решая относительно vz , получим
|
|
|
b z2 |
|
C |
5 |
|
|
|
v |
z |
|
3 |
2 |
|
|
|
||
m |
m . |
(17) |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
По начальным условиям найдем постоянную C5 .
Подставляя в (17) vz0 0 и z0 , получим
|
|
0 |
b3z02 |
2 |
C5 |
|
C |
|
|
b3 |
z2 |
||
|
|
m |
m , и |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 0 . |
|||||
v |
z |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая, что |
|
выражение (17) запишется в виде |
|||||||||||
|
|
9
dz |
|
b z2 |
|
b z |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
0 |
|
|
dt |
m |
m . |
|||||
|
|
Разделив переменные, приведем его к виду
dz dt
b3z2 b3z20
m m . b3
Вынося из под знака корня в знаменателе m , получим
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Интегрируя, получим |
|
|
|
|
z2 z02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
arcch |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
t C |
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решая относительно z , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
t C6 e |
|
|
|
|
|
|
t C6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z z |
|
|
m |
m |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Постоянную C6 |
найдем по начальным условиям. При t 0, |
z0 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда z0 z0 |
eC6 e C6 |
|
|
|
|
eC6 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eC |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
C |
6, получим |
|
|
e |
C6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
6 |
0 |
. |
|||||||||||||||||||||
Решая относительно |
|
|
|
|
|
|
|
1 или |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, решение третьего уравнения системы (7) будет иметь вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e m e |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
2 .
Окончательно уравнения движения точки в координатной форме имеют вид:
10
x |
b1 |
|
cos t |
|
|
b1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m 2 |
|
|||||||||||||||
|
m 2 |
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
b2 |
t |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y v |
|
|
|
e m |
v |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y0 b |
|
||||||||||||||
|
|
y0 b |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
t |
|
b3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z z |
0 |
|
|
m e |
|
|
m |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Материальная точка массой m , движется под действием сил, равнодействующая которых зависит от времени, координат точки и ее скорости. Определить уравнения движения точки в координатной форме при заданных начальных условиях. Исходные данные приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
v x0 |
|
v y0 |
|
vz0 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
x0 |
z0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
вар. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
i |
|
5t j3v y kz |
3 |
2 |
1 |
5 |
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5sin3t |
|
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
kvz |
3 |
2 |
2 |
1/6 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
3v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
|
i |
j |
y |
|
k |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
3/4 |
|
1 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5v x |
|
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
k |
3 |
1 |
1 |
5 |
|
1 |
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
4v2y |
|
|
|
|
|
|
|
sin 3t |
4 |
2 |
1 |
√2 |
|
0,5 |
|
-1/6 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5cos3t |
|
|
3/ vz |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
k |
8/9 |
5/9 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/(1 t)2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
-1/3 |
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
F |
i |
3x j3v |
|
y |
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
3cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
kvz |
2 |
-1 |
3 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t 2 |
|
|
|
3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
√3 |
|
1/2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
kvz |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5t 2 |
|
|
|
3v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F |
i |
j |
y |
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|