КИМ11
.pdfНомер: 11.6.69.С
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача: Разложить функцию f (z)= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
в ряд Лорана в области 0 < |
|
z |
|
|
< ∞. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
∑ |
n!z n |
3). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
5). ∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 n |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
n=0 n!z 2n |
|
|
|
|
|
n=0 n!z 2n |
n=0 n!z 2n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.70.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f |
(z)= cos |
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
+ |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
2n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
(z +1)2n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
1). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
2). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(2n)! |
(2n)!(z +1)2n |
(2n +1)!(z +1)2n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
n=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
(−1)2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4). ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!(z +1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n=0 (2n +1)z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.71.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача: |
|
Разложить |
функцию |
f (z)= (z +1)sin |
|
|
|
|
|
|
в ряд |
Лорана в |
области |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ |
|
z +1 |
|
< ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
1). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4). |
|||||||||||||||||||||
|
(z +1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)(z +1)2n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
n=0 n(z +1)n |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+1)!(z +1)n |
|
|
(2n |
+1)!(z +1)2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=0 (2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.72.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача: |
|
Разложить функцию |
f (z)= (z + i)2 cos |
|
|
|
в ряд Лорана в области |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z + i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ |
|
z + i |
|
< ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответы: |
1). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 n !(z + i)n |
|
|
|
n=0 (n +1)!(z + i)n+1 |
|
|
|
|
n=0 (2n)!(z + i)2n−2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)!(z + i)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=0 (2n)!(z + i)2n |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
Номер: 11.6.73.С
Задача: |
|
|
|
|
Разложить |
|
|
|
функцию |
|
f (z)= sin |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
в |
ряд |
|
Лорана в |
области |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −i)3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ |
|
z −i |
|
|
|
< ∞. |
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
1). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)!(z −i)2n+1 |
(3n)!(z −i)3n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 n !(z −i)n |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
n=0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(2n +1)!(z −i)3(2n+1) |
|
|
(2n +1)!(z −i)3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.74.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= (z −1)3 e |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача: |
|
|
|
|
Разложить |
|
|
|
функцию |
|
z−1 |
ряд |
|
|
Лорана в |
области |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ |
|
z −1 |
|
< ∞. |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
1). |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
4). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 n !(z −1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 n !(z −1)2n |
|
|
|
|
|
|
n=0 n !(z −1)3n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1)n−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=0 n!(z |
|
|
|
|
n=0 n !(z −1)3(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.75.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z(z + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n+1 z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответы: 1). − |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
− ∑ |
|
|
|
|
3). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3z3 |
|
|
|
2z |
2 |
|
z |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
2z |
2 |
|
|
z |
2n+ |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
1 |
− |
1 |
− |
∞ |
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n+1 z n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
(−1)n+1 z n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
4). |
|
|
|
|
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). |
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2z 2 |
|
|
z |
2n+ |
2 |
|
2z 2 |
|
|
|
|
|
2n+2 |
|
|
|
|
2z |
|
|
|
2n+2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.76.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z +1)(z − 2)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n (2n +1)(z +1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
+ |
∑∞ |
|
|
|
|
|
|
2). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 (z +1)2 |
|
|
3(z + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
− |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− ∑∞ |
|
(2n +1) |
(z +1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|||||||||||||||||||||||||
9 (z +1)2 |
|
3(z + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128
|
1 |
|
|
+ ∑∞ (−1)n (2n +1)(z +1)n |
|
|
|
4). |
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ∑∞ |
(2n +1) |
|
(z +1)n |
5). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3(z + |
1) |
|
|
|
n=0 |
3n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9(z +1) |
|
|
n=0 3n+2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ∑∞ (−1)n (2n +1)(z +1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
9(z +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
32n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Номер: 11.6.77.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z(z + |
2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 = −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n (z + 2)n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ n∑=0 |
|
|
|
2n+2 |
|
|
2). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4(z + 2)2 |
2(z + 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n (z + |
2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ n∑=0 |
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|||||||||||||||||||||||||
|
9(z + 2)3 |
4(z + 2)2 |
2(z + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n (z + |
|
2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ (z + 2)n |
|
|||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ n∑=0 |
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4). |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ n∑=0 2n+2 |
5). |
||||||||||||||||||||||||||||||
2(z + 2)2 |
2(z + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(z + 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
+ |
∞ |
(−1)n |
(z + 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2(z + 2)2 |
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Номер: 11.6.78.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z +1)(z − 2)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 |
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 2) |
n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
2). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9(z − 2)2 |
|
3 z − 2 |
|
3n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
+ 2 1 + ∑(−1)n+1 (z − 2) |
n |
3). |
|
|
|
|
− 2 1 |
− ∑(z |
− 2) |
n+1 |
4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
9(z − 2)2 |
|
|
|
|
3 z − 2 |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 z − 2 |
|
n=0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
+ ∑(−1) |
n |
(z − |
2) |
n |
|
|
|
1 |
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ ∑(−1)n+1 (z − 2) |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3(z − 2)2 |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
9(z − 2) |
2 |
(z − 2)3 |
n=0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.79.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию |
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 2 −3z + |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
∞ (−1)n (z − |
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
+ 3 |
∞ (−1)n (z −1)n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z |
−1)2 |
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
− |
1 |
|
n!3n+1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3). − 2 |
|
|
|
|
|
− ∑(−1) |
n |
(z |
−1) |
n |
|
4). − 2 −3 |
∑(z −1)n 5). |
|
|
|
|
2 + 3 ∑(z −1) |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 3n+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(z −1)2 |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.80.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в кольце 2 < |
|
z |
|
< 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 2 − z − 6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
z n |
+ |
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)n 2n |
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
z n |
|
− |
1 |
|
∞ |
(−1)n 2n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
1). |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
z n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
3). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 n=0 3n |
|
|
|
|
|
|
|
5 n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 n=0 |
|
|
|
|
|
5 n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
1 |
|
|
|
|
∞ |
z n |
|
+ |
1 |
|
|
|
∞ |
|
(−1)n 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
z n |
|
|
|
− |
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
z n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
15 n=0 |
|
|
|
|
|
15 n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n=0 |
|
|
|
|
|
|
5 n=0 z n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
1 |
|
|
|
|
∞ |
z n |
|
+ |
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
15 n=0 |
|
|
|
|
|
|
5 n=0 z n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.81.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задача: |
Разложить функцию |
|
|
f (z)= |
|
в ряд Лорана в окрестности точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
z 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответы: 1). ... − |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
− |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
− |
+... 2). ... − |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
|
+ |
− |
+... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
3 |
|
|
z 2 |
|
3! |
|
5! |
7! |
|
|
z3 |
|
|
z 2 |
|
2! |
4! |
8! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3). |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
+ |
z 2 |
|
+ |
|
|
|
z 4 |
|
|
+ |
z6 |
|
+... |
|
|
|
|
|
4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
+ |
|
z 2 |
|
− |
|
|
z 4 |
+... |
|
|
|
|
|
|
|
5). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
z |
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
3! |
|
5! |
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ |
|
z |
|
+ |
|
|
z3 |
|
|
+ |
|
z |
5 |
|
|
|
+ |
|
|
z 7 |
|
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z |
1! |
|
3! |
|
5! |
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Номер: 11.6.82.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Задача: |
Разложить функцию |
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z 2 −3z + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
(−1)n+1 (z − 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 2)2 |
|
|
z − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ∑(−1)n+1 (z − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z − 2)3 |
|
(z |
− 2)2 |
z − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130
|
|
3 |
|
|
|
|
+ 2 ∑(−1)n+1 (z − 2) |
n |
|
4). |
|
|
− 2 |
|
|
+ ∑(−1)n+1 (z − |
2) |
n |
5). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||||||||
|
(z − 2)3 |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 2)2 |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
|
2 ∑(−1)n+1 |
(z − 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Номер: 11.6.83.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача: |
|
|
Разложить функцию f (z)= cos |
|
в ряд Лорана в окрестности точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 2 4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
−... 2). 1 + z + z 2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+... 3). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
4! z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 2 |
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... |
4). |
3z + |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+... 5). |
||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! z |
|
|
|
|
4! z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
4 z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n+1 |
1 |
|
2 |
2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Номер: 11.6.84.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (z)= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача: |
|
|
Разложить функцию |
z |
в |
|
|
ряд |
|
Лорана в |
|
окрестности |
точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3!z3 |
+ 2!z 2 + z + |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
|
|
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
+... |
|
|
|
2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
1 3 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
+... |
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
n! z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
− |
2 |
3 |
|
2n−2 |
|||||
2!z 2 |
+ z + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
−... + (−1)2n |
|
|
|
|
+... |
|||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||
∞ |
(−1)n+1 3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∑ |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=0 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 11.6.85.С
Задача: Разложить функцию f (z)= ( )(1 ) z −1 z − 4
z − 2 в кольце 1 ≤ z − 2 < 2 .
|
|
|
|
|
|
3). |
|
∞ |
1 |
3 |
|
2n |
|
4). |
∑ |
|
|
|
|
5). |
|
|
|||||
|
n=0 n! z |
|
|
в ряд Лорана по степеням
131
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(z − 2)n |
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∞ |
(z − 2)n |
|
|
∞ |
|
(−1)n+1 |
|
|||||||||||||||||
Ответы: |
|
1). |
∑ |
|
|
2n |
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
|
|
− |
|
|
∑ |
2n+1 |
|
+ ∑ |
|
|
|
|
3). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=1(z − 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n=0 |
|
|
n=1(z − 2)n |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
∞ (z |
− 2)n |
∞ |
|
|
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ (z − 2)n |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
n+1 |
− ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
5). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
n=1(z − |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n=0 |
|
3 |
|
n=1 n(z − 2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n=0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
∞ (z − 2)n |
|
∞ (−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∑ |
|
2 |
n+1 |
|
∑ |
− 2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 n=0 |
|
|
|
n=1(z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Номер: 11.6.86.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача: |
Разложить функцию |
|
z |
в ряд Лорана в окрестности точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 2 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
1). |
|
|
|
e2 1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
... + |
|
|
|
|
|
+... |
2). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
n ! z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
n |
|||
|
+ |
+ |
+... + |
|
|||||||||
e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2! z |
|
n! z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n+1 e 2 2n+1
5). ∑ ( ) n=0 2n +1 ! z
Номер: 11.6.87.С
Задача: Разложить функцию
|
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
2 n+1 |
∞ |
1 |
2 n |
|||||
+... |
3). |
∑ |
|
2 |
|
|
|
|
4). ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n=0 e |
n ! |
z |
n=0 e n ! z |
||||||||
|
|
|
1 |
|
f (z)= (z −1)(z − 2) |
в ряд Лорана в кольце |
1 < |
|
z |
|
< 2 . |
∞ |
1 |
|
∞ |
z n |
|
∞ |
1 |
∞ |
(−1)n z n |
∞ |
1 |
|
∞ |
z n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
∑ |
|
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
2). − ∑ |
|
+ ∑ |
|
|
|
3). − ∑ |
|
− |
∑ |
|
4). |
|||||||
|
|
2n |
|
2n+1 |
z n |
2n+1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 z n |
|
n=0 |
|
n=1 z n |
n=0 |
n=1 |
|
n=0 |
|
|||||||||||||
∞ |
|
2n |
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∑ |
|
|
|
|
5). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=0 |
|
|
n=1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Номер: 11.6.88.С |
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= (1 + z3 )sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача: Разложить |
функцию |
|
в ряд Лорана |
в |
области |
|||||||||||||||||||||||
z 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < z < ∞.
132
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)n |
|
|
|
||||||||
Ответы: |
1). |
|
|
|
|
z + |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
|
+ 2z + ∑ |
|
|
|
|
|
|
3). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4n +1) z 4n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 (2n +1)!z 4n+1 |
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
z |
+ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
4). − z + |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). z + |
∞ |
|
|
(−1)n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
(2n +1)!z 4n+1 |
|
(2n +1)!z 2n+1 |
(2n +1)!z 4n−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.89.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд |
Лорана |
в |
кольце |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z −1)2 (z + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < |
|
z −1 |
|
< 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ ∑∞ |
(−1)n |
|
(z −1)n |
|
|
|
2). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9(z −1)2 |
|
3(z −1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
(z −1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
... − |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
+ n∑=0 |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
27(z −1)3 |
9(z −1)2 |
3(z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
∑∞ (z −1)n |
4). |
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
+ |
|
∑∞ (−1)n |
(z −1)n 5). |
||||||||||||||||||||||||
|
3(z |
−1)2 |
|
9(z −1) |
|
3(z −1)2 |
|
9(z −1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 3n+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
∑∞ (−1)n (z −1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
9(z − |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 n=0 3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Номер: 11.6.90.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Задача: Разложить функцию f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ряд Лорана в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z + 3)(z + 2)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z0 |
= −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||
Ответы: 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 ∑(−1)n (z + |
|
2)n |
2). |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
−3 ∑(−1)n |
(z + 2)n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(z + 2)2 |
|
|
z |
+ 2 |
|
(z |
+ 2)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
n |
3 |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
(z + |
2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3). |
∑ |
|
|
|
|
|
|
4). |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
5). 3 ∑(−1)n (z + 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=0(z + 2)n+1 |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
7. Изолированные особые точки. Вычеты
Номер: 11.7.1.В
Задача: Найти нули функции f (z)=1 + cos z и определить их порядки Ответы: 1). zn = (2n +1)π - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 2). zn = 2πn -
нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 3). zn = (2n +1)π - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 4). zn = πn - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.2.В
Задача: Найти нули функции f (z)=1 −ez и определить их порядки
Ответы: 1). zn = π2 i + πn - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 2). zn = 2iπn -
нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 3). zn = (2n +1)πi - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 4). zn = πni - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.3.В
Задача: Найти нули функции f (z)= z4 + 4z2 и определить их порядки Ответы: 1). z = ±2i - нули 1-го порядка 2). z = 0 - нуль 2-го порядка 3). z = 0 - нуль 2-го порядка, z = ±2i - нули 1-го порядка 4). z = 0 - нуль 1-го порядка, z = ±2i - нули 2-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.4.В
Задача: Найти нули функции f (z)= (z2 +1)3 sh z и определить их порядки
Ответы: 1). z = ±i - нули 3-го порядка 2). z = ±i - нули 2-го порядка 3). z = ±i - нули 1-го порядка 4). z = 0 - нуль 1-го порядка, z = ±i - нули 3-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.5.В
Задача: Найти нули функции f (z)= sinz z и определить их порядки
Ответы: 1). zn = 2iπn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …) 2). zn = πn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …) 3). zn = 2πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …) 4). zn = πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.6.В
Задача: Найти нули функции f (z)= z2 sin z и определить их порядки
Ответы: 1). zn = πn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …), z = 0 - нуль 3-го порядка 2). zn = πn - нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …) 3). zn = 2πn - нули 2-го
134
порядка (n= ±1, ±2, …), z = 0 - нуль 1-го порядка 4). zn = πn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), z = 0 - нуль 2-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.7.В |
|
sh2z |
|
|
Задача: Найти нули функции f (z)= |
и определить их порядки |
|||
|
||||
|
|
z |
||
Ответы: 1). zn = πn |
- нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …), z = 0 - нуль 2-го |
|||
порядка 2). zn = iπn |
- нули 1-го порядка (n= ±1, ±2, …) 3). zn = 2iπn - нули 2- |
го порядка (n= ±1, ±2, …), z = 0 - нуль 1-го порядка 4). zn = iπn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), z = 0 - нуль 1-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.8.В
Задача: Найти нули функции f(z)=1+chz и определить их порядки
Ответы: 1). zn = πi(2n +1) - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 2). zn = πi - нули 1-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 3). zn = 2iπn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), z = −1 - нуль 1-го порядка 4). zn = iπn - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2, …), z = 0 – нуль 2-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.9.В
Задача: Найти нули функции f (z)= (1 −sh z)2 и определить их порядки z
Ответы: 1). zn = πi(4n +1) - нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 2). zn = πi -
нули 2-го порядка (n=0, ±1, ±2, …) 3). zn = π2n - нули 2-го порядка (n= ±1, ±2,
…) 4). zn = (4n +1)π2 i - нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.10.В
Задача: Найти нули функции f (z)= (z + πi)sh z и определить их порядки
Ответы: 1). zn = −πi - нуль 1-го порядка 2). zn = −πi |
- нуль 2-го порядка 3). |
zn = iπn - нули 1-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) 4). zn |
= (4n +1)πi - нули 2-го |
порядка (n= 0,±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов |
|
Номер: 11.7.11.В
Задача: Найти нули функции f (z)= cos z3 и определить их порядки
135
Ответы: 1). |
zn = 3 (2n +1) |
π |
(n= |
0,±1, |
±2, |
…) |
- нули 1-го |
порядка 2). |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
zn = (2n +1)π 1 ±i |
3 |
- нули 2-го порядка |
(n= 0,±1, ±2, …) 3). zn = iπn - |
||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нули 1-го порядка, |
zn = |
(2n +1)π 1 ±i |
3 - нули 1-го порядка |
(n= 0,±1, ±2, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
…) 4). zn = |
(2n +1) |
π 1 ±i |
3 |
- нули 1-го порядка, |
zn = 3 (2n +1)π - нули 1- |
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
го порядка (n= 0,±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.12.В
Задача: Найти нули функции f (z)= (z2 + π2 )(1 + e−z )и определить их порядки
Ответы: 1). z1,2 = ±πi - нули 2-го порядка 2). z1,2 = ±πi - нули 2-го порядка, z n = (2n +1)πi - нули 1-го порядка (n=±1, ±2, …) 3). z n = (2n +1)πi - нули 1-го
порядка (n=±1, ±2, …) 4). z n = (4n +1)πi - нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.13.В
Задача: Найти нули функции f (z)= cos z + ch i z и определить их порядки
Ответы: 1). нет нулей 2). z = πi |
- нуль 2-го порядка, z n = (2n +1)πi - нули 1-го |
порядка (n=±1, ±2, …) 3). z n = |
(2n +1)πi - нули 1-го порядка (n=±1, ±2, …) 4). |
|
2 |
z n = (4n +1)πi - нули 2-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) 5). нет правильных ответов |
Номер: 11.7.14.В
Задача: Найти нули функции f (z)= z2 +9 и определить их порядки
Ответы: 1). нет нулей 2). z1,2 = ±3 - нули 2-го порядка 3). z1,2 = ±3i - нули 1-го порядка 4). z1,2 = ±3 - нули 3-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.15.В
Задача: Найти нули функции f (z)= z sin z и определить их порядки
Ответы: 1). нет нулей 2). z = 0 - нуль 2-го порядка 3). z = nπi - нули 1-го порядка (n= 0,±1, ±2, …) 4). z = 0 - нуль 3-го порядка 5). нет правильных ответов
Номер: 11.7.16.В
Задача: Найти нули функции f (z)= (1 −ez )(z2 − 4)3 и определить их порядки
136