КИМ11
.pdfНомер: 11.4.105.В
Задача: Найти функцию, гармонически сопряженную с функцией u(x, y)=10x +9y .
Ответы: |
1). |
v(x, y)= |
y2 |
− |
x2 |
|
2). |
v(x, y)=10x +10y |
3). |
v(x, y)= 2xy |
4). |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v(x, y)= 9x +10y 5). нет правильных ответов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Номер: 11.4.106.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с |
функцией |
||||||||||||||||
u(x, y)= x3 −3y2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= x2 y − y |
2). |
v(x, y)= 3x2 y + y |
3). |
v(x, y)= 2xy |
4). |
|||||||||||||||
v(x, y)= 3x2 y − y 5). нет правильных ответов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Номер: 11.4.107.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с |
функцией |
||||||||||||||||
u(x, y)= e−y cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответы: |
v(x, y)= ey sin x 2). |
v(x, y)= e−y sin x |
3). |
v(x, y)= ey cos x |
4). |
|||||||||||||||||
v(x, y)= ex cos x 5). нет правильных ответов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Номер: 11.4.108.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с |
функцией |
||||||||||||||||
u(x, y)= x2 − y2 − x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= |
y2 |
|
− |
x2 |
|
2). |
v(x, y)= |
y2 |
+ |
x2 |
3). |
v(x, y)= 2xy − y |
4). |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
v(x, y)= −x2 − y2 5). нет правильных ответов
Номер: 11.4.109.В
Задача: Найти функцию, гармонически сопряженную с функцией u(x, y)= −x − y .
Ответы: |
1). v(x, y)= x + y |
2). |
v(x, y)= |
y2 |
+ |
x2 |
3). v(x, y)= 2xy 4). |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
||
v(x, y)= −x − y 5). нет правильных ответов |
|
|
|
||||
Номер: 11.4.110.В |
|
|
|
|
|
|
|
Задача: |
Найти функцию, |
гармонически |
сопряженную с функцией |
u(x, y)= x2 − y2 − 2y .
97
Ответы: |
1). v(x, y)= 2xy + 2x 2). v(x, y)= |
y2 |
|
+ xy |
3). v(x, y)= 2xy |
4). |
|||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v(x, y)= 2xy − x2 − y2 5). нет правильных ответов |
|
|
|
|
|
||||||
Номер: 11.4.111.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с |
функцией |
|||||
u(x, y)=1 −ex sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответы: |
v(x, y)= e−y cos y 2). |
v(x, y)= e−y cos x |
3). |
v(x, y)= 2xy cos y |
4). |
||||||
v(x, y)= ex cos y 5). нет правильных ответов |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Номер: 11.4.112.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с |
функцией |
u(x, y)= 5ex sin y .
Ответы: 1). v(x, y)= 5e−y cos x 2). v(x, y)= 5ex cos x 3). v(x, y)= −5ex cos y 4).
v(x, y)= 5ex sin y 5). нет правильных ответов |
|
|
|
|||
Номер: 11.4.113.В |
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с |
функцией |
u(x, y)= 2(x − y)2 +3(x2 − y2 ). |
|
|
|
|
||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= 4(xy − x)−6xy 2). |
v(x, y)= 3(xy + x)+ 6xy 3). |
|||
v(x, y)= 2xy + x 4). v(x, y)= 4(xy + x)+ 6xy 5). нет правильных ответов |
||||||
Номер: 11.4.114.В |
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с |
функцией |
u(x, y)= e−y cos x + y .
Ответы: 1). v(x, y)= x2 − y2 −5 2). v(x, y)= e−y cos x 3). v(x, y)= e−y cos x +1
4). v(x, y)= e−y sin x + x 5). нет правильных ответов
Номер: 11.4.115.В |
|
|
|
|||
Задача: |
Найти функцию, |
гармонически сопряженную с функцией |
||||
u(x, y)= −4x2 + 4y2 . |
|
|
|
|||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= |
y2 |
+ |
x2 |
2). v(x, y)= 2xy 3). v(x, y)= −8xy 4). |
|
2 |
|||||
|
|
2 |
|
|
v(x, y)= 2xy − x2 5). нет правильных ответов
98
Номер: 11.4.116.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
|
с |
функцией |
|||||
u(x, y)= x2 − y2 + xy +18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= 2xy − |
1 |
(x2 − y2 ) |
2). |
v(x, y)= |
y2 |
|
+ |
x2 |
+ 2xy |
3). |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
v(x, y)= 2xy + y2 4). v(x, y)= 2xy − x2 − y2 5). нет правильных ответов |
|
|||||||||||
Номер: 11.4.117.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
|
с |
функцией |
|||||
u(x, y)= ex sin y +8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответы: |
1). v(x, y)= e−y cos x |
2). v(x, y)= e−x cos y 3). v(x, y)= 2xy + ey |
4). |
|||||||||
v(x, y)= 2xy −ex cos x 5). нет правильных ответов |
|
|
|
|
||||||||
Номер: 11.4.118.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача: |
Найти |
функцию, |
гармонически |
сопряженную |
|
с |
функцией |
|||||
u(x, y)= ex cos y + x2 − y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= ex cos y + x |
2). |
v(x, y)= ex sin y + xy |
3). |
v(x, y)= ex sin y + x2 − y2 4). v(x, y)= ex cos y − y2 5). нет правильных ответов
Номер: 11.4.119.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача: |
Найти |
функцию, |
|
гармонически |
|
|
сопряженную |
|
с |
функцией |
|||||||||||||||
u(x, y)= x2 − y2 +9x −9y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= |
y2 |
− |
x2 |
+ 2xy |
2). |
|
v(x, y)= |
y2 |
|
+ |
x2 |
+ 2xy |
3). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
v(x, y)= 2xy +9x +9y 4). v(x, y)= 2xy − |
1 |
(9x2 |
−9y2 ) 5). нет правильных от- |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
ветов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Номер: 11.4.120.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача: |
Найти |
функцию, |
|
гармонически |
|
|
сопряженную |
|
с |
функцией |
|||||||||||||||
u(x, y)= xy + ex cos y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= |
y2 |
−ex |
2). |
|
|
v(x, y)= |
y2 |
−ex |
sin y − |
x2 |
|
3). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
v(x, y)= 2xy −ex cos x 4). v(x, y)= ex sin y − |
1 |
(x2 − y2 )5). нет правильных от- |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветов
99
Номер: 11.4.121.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача: |
Найти функцию, |
гармонически |
сопряженную |
с функцией |
|||||||||||
u(x, y)= x2 − y2 + xy +5x +11y . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: |
1). |
v(x, y)= |
y2 |
|
− |
x2 |
+ 2xy 2). |
|
v(x, y)= |
y2 |
+ |
x2 |
+ 2xy −11x 3). |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
v(x, y)= 2xy +5y +11x 4). |
v(x, y)= 2xy − |
1 |
(x2 |
− y2 )+5y 5). нет правильных |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответов
100
5. Интегрирование функции комплексного переменного. Формулы Коши
Номер: 11.5.1.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
z 2
z∫=1 z − 2idz
Ответы: 1). 4πi 2). 1 − 2i 3). 0 4). 2i +1 5). −8πi
Номер: 11.5.2.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
sin z
z+∫i =1 (z + i)3 dz
Ответы: 1). 2π sh1 2). − 2πi sh1 3). − π sh1 4). π sin1 5). − π sin1
Номер: 11.5.3.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
|
|
|
∫=3 |
dz |
|
|
||
|
z |
|
z 2 + 2z |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|||||
Ответы: 1). 0 2). 2i 3). − |
i 4). − 2 5). πi |
|||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 11.5.4.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
dz
z−∫i =1 (z −1)3 (z +1)3
Ответы: 1). π2 i 2). − 2πi 3). 83 4). 83 π 5). 83 πi
Номер: 11.5.5.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для произ-
101
водных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
z 2
z ∫=4 z − 2i dz
Ответы: 1). 8πi 2). −8π 3). π4i 4). − π4 i 5). −8πi
Номер: 11.5.6.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
cos z
z ∫=4 z 2 − π2 dz
Ответы: 1). 0 2). π2 3). − π2 i 4). 2πi 5). 12 −i
Номер: 11.5.7.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
dz
z ∫=2 (z −1)3 (z +1)3
Ответы: 1). − 34π 2). 34π 3). 34 πi 4). 0 5). 83 πi
Номер: 11.5.8.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
2z −1 −i
z ∫=2 (z −1)(z −i)dz
Ответы: 1). − 2πi 2). − 4πi 3). 4πi 4). 2πi 5). 0
Номер: 11.5.9.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
dz
z ∫=3 z3 + 4z
Ответы: 1). 4πi 2). 0 3). − 4 4). 2 + 2i 5). π4 i
102
Номер: 11.5.10.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
ez dz
z ∫=2 (z + i)3
Ответы: 1). i e 2). πi 3). πei 4). πei 5). − e
Номер: 11.5.11.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
|
|
|
∫=3 |
sin zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
z 2 − 7z +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответы: 1). |
3 |
πsin 2i 2). − |
3 |
πi sin 2 3). − |
2 |
πi sin 2 4). |
1 |
|
πi sh i 5). − |
2 |
πsh 3i |
|||||
|
2 |
3 |
3 |
3 |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
Номер: 11.5.12.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
dz
z+∫1 =1 (z −1)3 (z +1)3
Ответы: 1). 83 πi 2). − 83 πi 3). 0 4). 8πi 5). − π2 i
Номер: 11.5.13.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
z +1
z ∫=2 z(z −1)2 (z −3)dz
Ответы: 1). − 23 i 2). 23 πi 3). − 23 πi 4). 13 i 5). πi
Номер: 11.5.14.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для произ-
103
водных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
cos z dz
z ∫=3 (z −i)2
Ответы: 1). π2 (e + e−1 )2). πi sh1 3). π(e − e−1 )4). π(e + e−1 )5). π2 i ch1
Номер: 11.5.15.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
|
∫ |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z 2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z−2i |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответы: 1). |
π |
2). − |
π |
3). |
πi 4). |
2 |
πi 5). − |
πi |
|||||
3 |
3 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
Номер: 11.5.16.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
|
∫ |
dz |
|
|
|
|
|
||||
|
(z 2 + 9)2 |
|
|
|
|
||||||
|
z−2i |
|
=2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: 1). |
π |
i 2). |
π |
i 3). |
π |
4). − 27πi 5). − 27π |
|||||
|
54 |
54 |
|||||||||
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
Номер: 11.5.17.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
|
∫ |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z 2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z+2i |
|
=2 |
π |
|
π |
|
2 |
π 5). |
1 |
πi |
||
|
|
|
|
||||||||||
Ответы: 1). − |
2). |
3). 12i 4). |
|||||||||||
3 |
3 |
3 |
6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 11.5.18.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
∫ |
ez dz |
|||
z 2 − 2iz |
||||
z−3i |
|
=2 |
||
|
104
Ответы: 1). cos 2 +i sin 2 2). cos 2 −i sin 2 3). π(cos 2 + i sin 2) 4). π(cos 2 −i sin 2) 5). (e2 − e−2 )i
Номер: 11.5.19.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
dz
z−∫2 =1 (z + 2)3 z
Ответы: 1). 1 2). π4 i 3). 12π 4). − π4 i 5). 0
Номер: 11.5.20.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
|
∫ |
ez dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(z + 2)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z−2 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответы: 1). πei 2). |
π |
i 3). |
π |
4). |
|
π |
i 5). |
πi |
||||||
3e4 |
3e |
16 |
3e2 |
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Номер: 11.5.21.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
dz
z∫=1 z(z + 2)3
Ответы: 1). 0 2). π2 i 3). π4 i 4). − π4 i 5). − π2 i
Номер: 11.5.22.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
ch z
z ∫=3 z − 4i dz
Ответы: 1). 8πi 2). 0 3). i 2πch 4 4). i 2πch 4i 5). 8πch 4i
105
Номер: 11.5.23.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
dz
z+∫2 =1 (z + 2)3 z
Ответы: 1). − π4i 2). 0 3). π4 i 4). − π2 i 5). − 2πi
Номер: 11.5.24.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
sin z dz z ∫=5 z(z + 2i)
Ответы: 1). i sin 2i 2). 2πi sin 2i 3). iπsh 2 4). i sh 2i 5). iπsh 2i
Номер: 11.5.25.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
|
|
|
∫=3 |
ez dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
z 2 |
+ 4 |
|
|
|
π(e2i |
− e−2i ) |
|
π(e−2i |
− e2i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: |
1). −iπ(e2i + e−2i ) 2). |
πe2i |
3). |
4). |
5). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
π2 i sh 2i
Номер: 11.5.26.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для производных аналитической функции, вычислить интеграл по замкнутому контуру
ch z
z ∫=5 z − 4idz
Ответы: 1). i 2πcos 4 2). i 2πch 4 3). i 2πsh 4i 4). 2πch 4i 5). − 2πsh 4
Номер: 11.5.27.В
Задача: Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области), интегральную формулу Коши и интегральную формулу для произ-
106