Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

УМК11

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
1.65 Mб
Скачать

то есть все значения z после z* попадают в открытый

 

 

круг радиуса δ с центром в точке z0 (см. рис. 1.7). Кратко

z z0

определение 1.13 означает, что

 

 

z z0

 

= (x x 0 )2 + (y y0 )2

есть бесконечно ма-

 

 

 

 

 

лая действительная величина.

 

 

 

Теорема 1.3.

z = x +i y

z0 = x 0 + i y0 ,

Рис. 1.7

 

 

 

 

когда

 

 

 

 

 

 

x x0

,

 

(1.63)

 

 

 

 

,

 

 

 

 

y y 0

 

 

что равносильно

lim z = lim (x + i y)= lim x + i lim y = x0 + i y0 .

(1.64)

Таким образом, нахождение предела комплексной переменной (КП) сводится к нахождению двух конечных пределов вещественных переменных: Re z

и Jm z , и тогда скобку в (1.64) можно раскрывать.

 

Доказательство. Необходимость. Так как

 

 

 

 

 

x x 0

 

,

 

y y0

 

 

z z0

 

=

 

(x x 0 )2 + (y y0 )2 ,

то

согласно

условию

 

 

 

 

 

 

 

(1.62)

 

x x 0

 

< δ,

 

y y0

 

< δ, что приводит к (1.63). Необходимость доказа-

 

 

 

 

на.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ > 0

 

Достаточность.

Условие

(1.63) означает

следующее:

 

x* = x* (δ),

y* = y* (δ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

что все последующие значения

x и y удовлетво-

ряют

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

 

требованиям

 

 

 

 

 

x x 0 <

, y y0

<

 

. Отсюда для таких

 

 

 

y

D

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x и y имеем

 

 

z z0

 

 

=

 

x + i y (x 0 +i y0 )

 

=

 

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

= (x x 0 )2 + (y y0 )2 <

 

δ2

+ δ2 = δ

 

0

v

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

Этим теорема доказана полностью.

 

 

u

 

 

 

Из теоремы 1 (см. (1.64)) следует, что все

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теоремы о пределах переменной вещественной

 

 

Рис. 1.8

 

величины имеют место и для переменной ком-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плексной величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие функции комплексного переменного (ФКП). Рассмотрим две

комплексные плоскости z и

ω (рис. 1.8).

 

 

 

 

23

На комплексной плоскости z рассмотрим множество точек D , а на ω− множество точек T (рис. 1.8).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. Если задано отображение f :D T , где каждому z D (прообразу) ставится в соответствие ровно одно (несколько) ωT

(образ), то говорят, что задана однозначная (многозначная) функция

комплекс-

ного переменного, и это записывают так:

 

ω =f (z),

(1.65)

при этом D называется областью определения функции f (z), а

T обла-

стью значений f (z). Как правило, в дальнейшем рассматриваются однозначные функции комплексного переменного, если не оговорено противное.

Образ множества при отображении f :D T обозначается через f (D). Таким образом, по определению f (D)= {f (z) z D}.

Если f (D)= T , то f называется отображением «на», то есть каждое значение из T имеет хотя бы один прообраз из D .

Выделяя вещественную и мнимую части, (1.65) можно записать в виде

ω = u + i v = f (x + i y)= u (x, y)+ i v (x, y),

(1.66)

где

 

u = u (x, y)= Ref (z), v = v (x, y)= Jm f (z).

(1.67)

Таким образом, задание ФКП равносильно заданию двух вещественных функций u и v от двух вещественных переменных x и y (см. (1.67)), задан-

ных на D .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел. Непрерывность ФКП

 

A = A1 + i A2 называется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Комплексное число

пределом

функции

 

f (z) при

z z0 и

это записывается

так:

lim f (z)= A

 

f (z)A

при

z z0 ,

если

для

zz0

 

δ = δ(ε)> 0 , что как только

 

 

 

ε > 0

 

 

 

 

 

0 <

 

z z0

 

< δ,

 

 

(1.68)

 

 

 

 

 

то для таких z

 

имеет место

 

 

 

 

 

 

f (z)A

 

< ε.

lim f (z)

 

(1.69)

 

 

 

 

Геометрическая

 

иллюстрация

заключается в следующем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zz0

 

 

 

какой бы открытый круг радиуса ε > 0 с центром в т. A ни взять, найдется от-

крытый круг радиуса δ > 0 с центром в т. z0 , что как только z z0 попадает в этот круг, то соответствующая точка f (z) попадает в открытый круг радиуса ε

Теорема 1.4.

lim f (z)= A = A1 + i A2 (1.70)

zz0

24

lim u(x, y)lim Ref (z)= A1

= Re A,

 

xx

xx

 

 

yy00

yy00

 

(1.71)

 

 

= Jm A.

lim v(x, y)lim Jm f (z)= A2

 

xx0

xx0

 

 

yy0

yy0

 

 

Доказательство. Предоставляем читателю.

Таким образом, предел ФКП сводится к нахождению пределов от двух функций двух независимых переменных. Отсюда следует, что основные теоремы о пределах функций многих переменных имеют место и для ФКП.

Согласно (1.71) соотношение (1.70) можно записать так:

lim f (z)= lim [u (x, y)+ i v (x, y)]=

 

zz0

xx0

 

 

 

yy0

 

(1.72)

 

= lim u(x, y)+i lim v(x, y),

 

 

 

xx0

xx0

 

 

yy0

yy0

 

то

есть квадратные скобки можно

раскрывать,

если

пределы от

Re f (z), Jm f (z) и конечны (числа).

 

 

 

 

Непрерывность ФКП

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Функция ω = f (z) непрерывна в т. z0 , если в

этой точке функция определена и ее предел при z z0

равен значению функ-

ции в этой точке, то есть

 

 

 

 

lim f (z)= f (z0 ).

 

 

(1.73)

 

zz0

 

 

 

 

Согласно теореме 1.4 (1.73) означает следующее: ω = f (z) непрерывна в

т. z0

= x + i y , когда ее вещественная

и мнимая

части –

непрерывные

функции в точке (x 0 , y0 ), то есть

 

 

 

lim u(x, y)lim Ref (z)= u (x0 , y0 ),

 

xx

xx

yy00

yy00

 

lim v(x, y)lim Jm f (z)= v (x0 , y 0 ).

 

xx0

xx0

 

 

yy0

yy0

(1.73) lim f (z)= lim [u (x, y)+ i v (x, y)]=

zz0

xx0

 

 

yy0

= lim u(x, y)+i lim v(x, y)= u(x0 , y0 )+ i v(x0 , y0 ).

 

xx0

xx0

 

yy0

yy0

(1.74)

(1.75)

25

1.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФКП. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И В ОБЛАСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Если lim

f (z), то он называется производ-

 

 

 

 

 

z0

z

 

 

ной ФКП ω = f (z)= u(x, y)+ i(x, y) в т. z

 

 

и обозначается f (z).

 

 

Таким образом, по определению производная

 

 

f (z)=

(

lim

f (z)

,

 

 

(1.76)

 

z >0)

z

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = z* z = (x* x)+ i (y* y)=

где z = x + i y, z*

= x* + i y* ,

= x + i y, x = x* x, y = y* y,

z 0 = 0 + i 0

 

x 0,

 

y 0,

но x 2 + y2 0; f (z)= f (z* )f (z)= f (z + z)f (z)=

 

 

 

= u (x* = x + x, y* = y + y)+ i v (x* , y* )u (x, y)i v (x, y)=

= u (x, y)+ i v (x, y). Как всегда, предполагается, что предел (1.76) не за-

висит от способа стремления z 0 при условии

 

z

 

> 0 .

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. ФПК ω = f (z) называется дифференцируемой в

т. z , если ее приращение в этой точке представимо в виде

f (z)= A (z) z + ω(z, z),

(1.77)

где первое слагаемое – главная часть приращения функции при A(z)0 ли-

нейно относительно приращения

z , а второе слагаемое есть бесконечно ма-

лая величина, более высокого порядка малости, чем

z , то есть

 

lim ω(z,

z)= 0.

 

 

(1.78)

z0

z

 

 

 

 

 

При условии дифференцируемости f (z) в т. z и A (z)0 главная часть

приращения функции,

линейная относительно z ,

называется ее дифферен-

циалом в т. z и обозначается df (z). Таким образом,

df (z)= A (z)

z .

Убедимся,

что нелинейную часть ω приращения функции можно пред-

ставить в виде

z)= p (z,

z)

 

 

 

ω(z,

z ,

 

(1.79)

где

 

z)= 0.

 

 

 

lim p (z,

 

 

(1.80)

z0

 

 

 

 

 

 

Действительно, полагая

 

 

 

 

ω(z,

z) = p (z,

z),

ω(z, z)= p (z,

z) z

(1.81)

z

 

 

 

 

 

26

и учитывая (1.78), получаем (1.80). Обратное очевидно.

 

 

 

 

Замечание. (1.79), (1.80) равносильно

 

 

 

 

 

ω(z, z)= p (z, z) x + q (z, z) y,

 

(1.82)

lim p(z,

z)= lim q (z, z)= 0.

 

 

z0

z0

 

, когда она диф-

Теорема 1.5. ФКП допускает производную в точке z

ференцируема в этой точке.

 

 

f (z)

 

Доказательство. Необходимость. (1.76)

 

,

 

z

 

p (z, z)+ f (z)=

 

z . Теперь

остается

сравнить

lim p(z, z)= 0, f (z)= f (z) z + p (z, z)

z0

 

 

 

 

 

 

полученное с (1.77), (1.79) и (1.80), что завершает доказательство необходимо-

сти.

 

 

 

 

 

 

Достаточность. Из (1.77), (1.78) следует

 

lim

f (z)

= lim A (z)+ ω(z,

z)

= A (z)+ lim ω(z, z) = A (z), то

z0

z

 

z

 

z0

z

z0

 

 

 

 

 

 

 

есть f (z)= A(z). Теорема доказана полностью.

 

Таким образом, при условии дифференцируемости, формулу (1.77) мож-

но написать так:

 

z)

 

 

 

 

f (z)= f (z) z + p (z,

z .

 

(1.83)

Следовательно, (1.83) совместно с требованием (1.80) определяют необ-

ходимые и достаточные условия дифференцируемости f (z)

в т. z . И при этом

условии и f (z)0 дифференциал функции f (z) в т. z определяется равенст-

вом df (z)= f (z)dz, z = dz .

Теорема 1.6. Если ФКП ω = f (z) допускает f (z) в точке z = x + i y , то вещественная и мнимая части этой функции допускают частные производные в точке (x, y) и эти частные производные должны удовлетворять условиям

u

(x, y)= v

(x, y),

 

 

x

y

 

 

(1.84)

 

 

(x, y)= −u

(x, y).

v

 

 

x

 

y

 

 

Условия (1.84) называются условиями Коши-Римана (К-Р) либо Далам-

бера-Эйлера (Д-Э).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Предположим, что производная f (z) . Тогда согласно

(1.72) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 0

 

 

 

lim

u (x, y)+ i v

(x, y)

=

 

 

=

 

 

 

f (z)=

 

x + i y

 

 

x 0

 

 

 

z0

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

u (x, y)

+ i lim

v (x, y)

= ux (x, y)+ i vx (x, y),

 

 

x0

x

 

 

x0

x

 

 

 

 

 

 

27

 

f (z)= ux (x, y)+ i vx (x, y),

 

 

 

 

 

 

 

(1.85)

 

так как предел не должен зависеть от способа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стремления z* z (z* z). Здесь z* z по

 

 

y

 

z*

 

 

прямой

x = const (рис. 1.9). Аналогично, уст-

 

 

y

z

 

 

ремляя

z* z по

прямой y = const (рис.

 

 

 

 

1.9), имеем

 

 

u (x, y)+ i v (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

0

 

 

x

x

 

 

 

 

 

f (z)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{xy=00

 

i y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

[uy (x, y)+ i vy (x, y)]=

 

 

1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

= −i

= vy (x, y)i uy (x, y).

i

 

 

 

 

 

 

i

i2

 

 

 

 

 

 

 

f (z)= vy (x, y)i uy (x, y).

(1.86)

 

Сравнение (1.85) и (1.86) дает (1.84). Что и требовалось доказать.

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z)= ux (x, y)+ i vx (x, y)= vy (x, y)i uy (x, y).

(1.87)

 

Теорема 1.7. При условии (1.84) ФКП ω = f (z) допускает производную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) в точке z = x + i y , когда вещественная и мнимая части f (z) диффе-

ренцируемы в точке (x, y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Необходимость. Согласно (1.83) и (1.80)

 

 

 

f (z)= u(x, y)+ i v (x, y)=

 

 

 

 

= [ux (x, y)+ i vx (x, y)] ( x + i y)+

 

 

 

 

+[α(x, y, x, y)+ iβ(x, y, x, y)] ( x +i y)=

 

 

 

α = α (x, y, x, y)= Re p (z, z)0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β = β (x, y, x, y)= Jm p (z, z)0

 

=

 

 

 

 

 

 

при z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [ux x + uy

y]+i [ux

y + ux x]+

 

α x −β y +i (α y x)

 

 

 

 

u (x, y)= d u

(x, y)+ α

x −β

 

y,

(1.88)

 

 

v (x, y)= d v

(x, y)+ α

y

 

x,

(1.89)

последнее означает дифференцируемость u (x, y)= Re f (z),

 

v (x, y)= Jm f (z) в рассматриваемой точке (x, y), если учесть, что

 

 

 

lim α

x −β

y = 0, lim α

y + β x = 0 .

(1.90)

 

 

x0

 

z

 

x0

 

z

 

 

 

 

y0

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достаточность. Из (1.88), (1.89) согласно (1.84), (1.87) и (1.90) имеем

28

Решение.
z D .

u +i v = f (z)= (ux dx + uy dy)+ α x y +

 

+ i [(vx dx + vy dy)+ γ x + δ

y]= (ux +i vx )dx + (uy + i vy )dy +

+ α x y +i (γ x + δ y)= (ux + i vx ) (dx +i dy)+ α x +

y + i (γ

x + δ

+ ω(z, z).

 

y)= f (z) z

 

u + i

v =

f (z)= f (z)

z + ω(z, z),

(1.91)

где (см. (1.82))

z)= (α + i γ) x + (β + i δ) y ,

 

ω(z,

(1.92)

lim ω(z, z)

= 0 ω(z,

z)= p (z, z) z ,

(1.93)

z0

(z,z z)= 0

 

 

lim p

 

(1.94)

z0

 

 

 

 

что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19. Функция ω = f (z) называется аналитической в открытой области D , если в каждой точке этой области она дифференцируема и при этом должно удовлетворяться требование: f (z)непрерывная функция для каждой точки

Замечание. Требование непрерывности f (z) вводится из методических

соображений, так как при строгом изложении курса указанное требование можно доказать из производной в каждой точке области D .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20. Функция ω = f (z) называется аналитической в

т. z0 , если окрестность этой точки ω: z z0 < δ, в которой эта функция

аналитическая; f (z)непрерывная функция для каждого z ω.

Отметим, что правила дифференцирования, которые имеют место для действительных функций, справедливы и для ФКП.

ПРИМЕР 1.13. (ez )= ez . Доказать.

ω = ez = ex+i y = ex (cos y + i sin y)= ex cos y + i ex sin y .

Отсюда согласно (1.87) имеем (ez )= (ex cos y)x + i (ex sin y)x =

= ex (cos y + i sin y)= ez , что и надо доказать. Отсюда следует, что ez ана-

литическая функция на всей конечной комплексной плоскости.

 

ПРИМЕР 1.14. Найти производные функций sin z,

cos z .

 

Решение.

ei z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei z

 

1

 

i z

i z

i ei z + ei z

 

(sin z)

 

 

 

 

=

 

(i e

 

+i e )=

 

 

 

= cos z ;

 

 

 

 

 

 

=

2i

 

2i

 

2i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

i z

+ e

i z

 

 

1

(i e

i z

 

 

i z

)=

 

i i

(e

i z

 

 

i z

)= −sin z .

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos z) =

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

i e

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: (sin z)

= cos z;

 

(cos z)

= −sin z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР

1.15.

Найти

 

производные

 

функций tg z, ctg z,sh z, ch z, .

th z, cth z

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 z +sin 2 x

 

 

1

 

 

 

 

 

Решение. (tg z)

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

z

 

 

 

cos

z

 

 

 

 

 

 

 

 

cos z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

sin 2

z cos2

x

 

1

 

 

Аналогично, (ctg z)

=

 

 

=

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

sin

z

 

 

sin

z

 

cos z

 

 

 

 

 

ez ez

 

ez + ez

 

(sh z)

 

 

 

 

=

 

 

= ch z ;

 

 

 

=

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

ez + ez

 

 

ez ez

 

(ch z)

 

 

 

 

=

 

 

= sh z ;

 

 

 

 

=

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

ch 2 z sh 2 z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(th z) =

 

 

 

 

 

=

 

;

 

 

 

 

 

 

 

ch 2 z

 

 

ch 2 z

 

 

 

 

 

 

ch z

 

sh 2 z ch

2 z

 

1

 

 

(cth z) =

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sh

z

 

 

 

sh

z

 

sh z

 

 

 

 

 

 

 

 

(tg z)=

1

;

(ctg z)= −

1

;

(sh z)= ch z;

cos2 z

sin 2 z

Ответ:

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ch z)

= sh z; (th z)

=

 

; (cth z)

= −

 

.

ch 2 z

sh 2 z

Отсюда следует, что элементарные функции комплексного переменного –

аналитические функции на конечной комплексной плоскости.

Почленно дифференцируя (1.84), получим

 

 

 

 

′′

′′

 

 

′′

 

 

′′

 

 

 

 

u xx (x, y)= v yx

(x, y), u yy = −vxy (x, y),

 

 

 

 

′′

′′

′′

 

′′

 

 

 

 

vxx (x, y)= −u yx (x, y), v yy = u xy (x, y), что дает

′′

′′

 

′′

 

′′

 

(1.95)

uxx + uyy

= 0, vxx

+ vyy = 0,

 

где предполагается непрерывных вторых частных производных.

30

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21. Функция, удовлетворяющая (1.95), называется

гармонической функцией.

Согласно последнему определению действительная и мнимая части аналитической функции – гармонические функции, удовлетворяющие условиям К- Р.

Покажем на примере, как восстановить аналитическую функцию по заданной вещественной или мнимой части.

ПРИМЕР 1.16. v (x, y)= x y, 0

 

 

z

 

< +∞.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

′′

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. vx = y,

vxx =

0; vy = x, vyy

= 0, vxx

+ vyy = 0 .

 

 

 

 

 

 

Согласно (1.84)

 

 

 

u

x (x, y)= x,

 

u (x, y)= x dx =

 

x 2

+ ϕ(y),

 

 

 

 

y (x, y)= −y

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ϕ(y) не зависит от x и в этом смысле выполняет роль постоянной интег-

рирования.

 

 

Дифференцируя по y , находим отсюда с учетом второго условия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системы, что ϕ (y)= −y, ϕ(y)= − 2 + C, C = const . Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

z +

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 2 z z + z

 

 

z2 2 z z + z

f (z)=

 

+ C + i xy =

 

2

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

2

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C +

z

=

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП

 

 

 

 

 

Пусть функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω = f

(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.96)

 

задана

 

в области

D и

допускает отличную

от нуля

производную

в

т. z0 :

f (z0 )0 . Тогда ее дифференциал в т. z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d ω0

 

= f (z0 )dz 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.97)

 

может

 

интерпретироваться

 

 

 

 

как

 

 

 

 

 

 

смещение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

т.ω0 (

 

ω0

 

 

d ω0 ),

 

соответствующее

 

 

 

 

достаточно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

малому

смещению

 

d z0 =

z0 . На

 

самом

деле

 

d ω0

ω0

 

 

 

 

 

d ω −

 

 

 

 

 

 

 

линейная

 

 

часть

 

 

 

 

 

смещения

 

 

 

 

 

 

 

 

ω00 (

 

ω0

 

d ω0 ) (рис. 1.10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0 z0

 

d z0

z

 

(1.97)

 

 

 

d ω0

 

ei ψ =

 

f (z 0 )

 

ei α

 

d z 0

 

 

ei ϕ .

(1.98)

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

q = ω0 ω−

 

 

 

 

 

 

 

 

d ω

 

 

 

=

 

f

 

 

)

 

 

 

d z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

(z

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.98)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.99)

 

 

 

 

 

 

 

 

i ψ

 

 

 

 

i α

 

i ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

e

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ϕ = arg dz0 ,

α = arg f (z0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое из равенств (1.99) геометрически интерпретируется так: в доста-

точно

 

 

малой

 

 

окрестности

 

т.

z0 расстояние

 

(линейный

элемент)

 

zp

 

=

 

z z0

 

=

 

d z0

 

 

между прообразами z0 и z изменяется с одним и тем

 

 

 

 

 

 

 

же

коэффициентом подобия k =

 

f (z0 )

 

0 , не зависящим от выбора т. z (ли-

 

 

 

нейного элемента), то есть

 

 

 

имеет место подобное преобразование (отображе-

ние) окрестности т. z0 с коэффициентом подобия k =

 

f (z0 )

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

Второе

 

равенство

 

 

из

(1.99)

 

 

означает, что

 

направление

вектора

d ω0 = ω0ω, ω = f (z), получается из направления вектора p = z0 z

поворо-

том на угол α независимо от выбора его конца z , то есть образ вектора p

вектор составляет угол αс прообразом p . Отсюда следует, что ес-

ли рассмотреть угол между векторами p1 = z0 z1 , p2 = z0 z2 , z1 и z2 принад-

лежат достаточно малой окрестности т. z0 , то при отображении (1.96) этот угол сохраняется как по величине, так и по направлению.

Выбирая теперь гладкую линию l Э т. z0 : z (t)= x (t)+ i y (t), где при

t = t0 z (t0 )= x (t0 )+ i y (t0 )= z0 , видим, что образ этой линии

L = f (l)

определяется уравнением

 

ω(t)= f [z (t)], ω0 = ω(t0 )= f [z (t0 )]= f (z0 ).

(1.100)

Из первого равенства (1.100) дифференцированием получаем

 

ω′(t)= f [z (t)] z(t), ω′(t 0 )= f (z0 ) z(t 0 ),

(1.101)

где z(t0 )0 определяет направление касательной к l в т. z0 , ω′(t0 ) дает на-

правление касательной к L = f (l) в т. ω0 = f (z0 ).

 

Выбирая в достаточно малой окрестности т. z0 две линии l1

и l2 , про-

ходящие через эту точку, и принимая во внимание геометрическую интерпретацию (1.99), приходим к выводу, что при отображении (1.96) угол между об-

разами L1 = f (l1 ), L2 = f (l2 ) равняется углу между прообразами l1 и l2 по

величине и направлению (по знаку).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22. Непрерывное отображение области D комплексной плоскости z на область T комплексной плоскости ω называется конформным, если в каждой точке z D выполняются два условия: 1)сохраняются величины углов и 2)имеет место подобное преобразование (отображение) окрестности этой точки.

32

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]