
УМК11
.pdf
то есть все значения z после z* попадают в открытый |
|
|||||
|
||||||
круг радиуса δ с центром в точке z0 (см. рис. 1.7). Кратко |
•z • z0 |
|||||
определение 1.13 означает, что |
|
|||||
|
z − z0 |
|
= (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 |
− есть бесконечно ма- |
||
|
|
|||||
|
|
|
||||
лая действительная величина. |
|
|
||||
|
Теорема 1.3. |
z = x +i y |
→ z0 = x 0 + i y0 , |
Рис. 1.7 |
||
|
|
|||||
|
|
|||||
когда |
|
|
|
|||
|
|
|
x → x0 |
, |
|
(1.63) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
y → y 0 |
|
|
что равносильно
lim z = lim (x + i y)= lim x + i lim y = x0 + i y0 . |
(1.64) |
Таким образом, нахождение предела комплексной переменной (КП) сводится к нахождению двух конечных пределов вещественных переменных: Re z
и Jm z , и тогда скобку в (1.64) можно раскрывать.
|
Доказательство. Необходимость. Так как |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − x 0 |
|
, |
|
y − y0 |
|
≤ |
|
z − z0 |
|
= |
|
(x − x 0 )2 + (y − y0 )2 , |
то |
согласно |
условию |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(1.62) |
|
x − x 0 |
|
< δ, |
|
y − y0 |
|
< δ, что приводит к (1.63). Необходимость доказа- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
на. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ > 0 |
|||||||
|
Достаточность. |
Условие |
(1.63) означает |
следующее: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x* = x* (δ), |
y* = y* (δ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
что все последующие значения |
x и y удовлетво- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ряют |
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
требованиям |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x − x 0 < |
, y − y0 |
< |
|
. Отсюда для таких |
|
|
|
y |
D |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x и y имеем |
|
|
z − z0 |
|
|
= |
|
x + i y −(x 0 +i y0 ) |
|
= |
|
|
|
0 |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 < |
|
δ2 |
+ δ2 = δ |
|
0′ |
v |
T |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
• |
|
|
|
|
Этим теорема доказана полностью. |
|
|
u |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Из теоремы 1 (см. (1.64)) следует, что все |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
теоремы о пределах переменной вещественной |
|
|
Рис. 1.8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
величины имеют место и для переменной ком- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
плексной величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Понятие функции комплексного переменного (ФКП). Рассмотрим две |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексные плоскости z и |
ω (рис. 1.8). |
|
|
|
|
23

На комплексной плоскости z рассмотрим множество точек D , а на ω− множество точек T (рис. 1.8).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. Если задано отображение f :D → T , где каждому z D (прообразу) ставится в соответствие ровно одно (несколько) ωT
(образ), то говорят, что задана однозначная (многозначная) функция |
комплекс- |
ного переменного, и это записывают так: |
|
ω =f (z), |
(1.65) |
при этом D называется областью определения функции f (z), а |
T − обла- |
стью значений f (z). Как правило, в дальнейшем рассматриваются однозначные функции комплексного переменного, если не оговорено противное.
Образ множества при отображении f :D → T обозначается через f (D). Таким образом, по определению f (D)= {f (z) z D}.
Если f (D)= T , то f называется отображением «на», то есть каждое значение из T имеет хотя бы один прообраз из D .
Выделяя вещественную и мнимую части, (1.65) можно записать в виде |
|
ω = u + i v = f (x + i y)= u (x, y)+ i v (x, y), |
(1.66) |
где |
|
u = u (x, y)= Ref (z), v = v (x, y)= Jm f (z). |
(1.67) |
Таким образом, задание ФКП равносильно заданию двух вещественных функций u и v от двух вещественных переменных x и y (см. (1.67)), задан-
ных на D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел. Непрерывность ФКП |
|
A = A1 + i A2 называется |
||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Комплексное число |
||||||||||||
пределом |
функции |
|
f (z) при |
z → z0 и |
это записывается |
так: |
||||||
lim f (z)= A |
|
f (z)→ A |
при |
z → z0 , |
если |
для |
||||||
z→z0 |
|
δ = δ(ε)> 0 , что как только |
|
|
|
|||||||
ε > 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
0 < |
|
z − z0 |
|
< δ, |
|
|
(1.68) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
то для таких z |
|
имеет место |
|
|
|
|
||||||
|
|
f (z)− A |
|
< ε. |
lim f (z) |
|
(1.69) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
Геометрическая |
|
иллюстрация |
заключается в следующем: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
какой бы открытый круг радиуса ε > 0 с центром в т. A ни взять, найдется от-
крытый круг радиуса δ > 0 с центром в т. z0 , что как только z ≠ z0 попадает в этот круг, то соответствующая точка f (z) попадает в открытый круг радиуса ε
Теорема 1.4.
lim f (z)= A = A1 + i A2 (1.70)
z→z0
24
lim u(x, y)≡ lim Ref (z)= A1 |
= Re A, |
|
|
x→x |
x→x |
|
|
y→y00 |
y→y00 |
|
(1.71) |
|
|
= Jm A. |
|
lim v(x, y)≡ lim Jm f (z)= A2 |
|
||
x→x0 |
x→x0 |
|
|
y→y0 |
y→y0 |
|
|
Доказательство. Предоставляем читателю.
Таким образом, предел ФКП сводится к нахождению пределов от двух функций двух независимых переменных. Отсюда следует, что основные теоремы о пределах функций многих переменных имеют место и для ФКП.
Согласно (1.71) соотношение (1.70) можно записать так:
lim f (z)= lim [u (x, y)+ i v (x, y)]= |
|
||
z→z0 |
x→x0 |
|
|
|
y→y0 |
|
(1.72) |
|
= lim u(x, y)+i lim v(x, y), |
||
|
|
||
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
y→y0 |
y→y0 |
|
то |
есть квадратные скобки можно |
раскрывать, |
если |
пределы от |
Re f (z), Jm f (z) и конечны (числа). |
|
|
|
|
|
Непрерывность ФКП |
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Функция ω = f (z) непрерывна в т. z0 , если в |
|||
этой точке функция определена и ее предел при z → z0 |
равен значению функ- |
|||
ции в этой точке, то есть |
|
|
|
|
|
lim f (z)= f (z0 ). |
|
|
(1.73) |
|
z→z0 |
|
|
|
|
Согласно теореме 1.4 (1.73) означает следующее: ω = f (z) непрерывна в |
|||
т. z0 |
= x + i y , когда ее вещественная |
и мнимая |
части – |
непрерывные |
функции в точке (x 0 , y0 ), то есть |
|
|
|
lim u(x, y)≡ lim Ref (z)= u (x0 , y0 ), |
||
|
x→x |
x→x |
y→y00 |
y→y00 |
|
|
lim v(x, y)≡ lim Jm f (z)= v (x0 , y 0 ). |
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
y→y0 |
y→y0 |
||
(1.73) lim f (z)= lim [u (x, y)+ i v (x, y)]= |
||
z→z0 |
x→x0 |
|
|
|
y→y0 |
= lim u(x, y)+i lim v(x, y)= u(x0 , y0 )+ i v(x0 , y0 ). |
||
|
x→x0 |
x→x0 |
|
y→y0 |
y→y0 |
(1.74)
(1.75)
25
1.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФКП. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И В ОБЛАСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Если lim |
f (z), то он называется производ- |
|||||||
|
|
|
|
|
z→0 |
z |
|
|
ной ФКП ω = f (z)= u(x, y)+ i(x, y) в т. z |
′ |
|
|
|||||
и обозначается f (z). |
|
|
||||||
Таким образом, по определению производная |
|
|
||||||
f ′(z)= |
( |
lim |
f (z) |
, |
|
|
(1.76) |
|
|
z >0) |
z |
|
|
|
|
||
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z* − z = (x* − x)+ i (y* − y)= |
||||
где z = x + i y, z* |
= x* + i y* , |
|||||||
= x + i y, x = x* − x, y = y* − y, |
z → 0 = 0 + i 0 |
|
x → 0, |
|||||
|
y → 0, |
|||||||
но x 2 + y2 ≠ 0; f (z)= f (z* )− f (z)= f (z + z)− f (z)= |
|
|||||||
|
|
= u (x* = x + x, y* = y + y)+ i v (x* , y* )− u (x, y)−i v (x, y)=
= u (x, y)+ i v (x, y). Как всегда, предполагается, что предел (1.76) не за-
висит от способа стремления z → 0 при условии |
|
z |
|
> 0 . |
|
|
|||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. ФПК ω = f (z) называется дифференцируемой в |
||||
т. z , если ее приращение в этой точке представимо в виде |
||||
f (z)= A (z) z + ω(z, z), |
(1.77) |
где первое слагаемое – главная часть приращения функции при A(z)≠ 0 − ли-
нейно относительно приращения |
z , а второе слагаемое есть бесконечно ма- |
|||||
лая величина, более высокого порядка малости, чем |
z , то есть |
|
||||
lim ω(z, |
z)= 0. |
|
|
(1.78) |
||
z→0 |
z |
|
|
|
|
|
При условии дифференцируемости f (z) в т. z и A (z)≠ 0 главная часть |
||||||
приращения функции, |
линейная относительно z , |
называется ее дифферен- |
||||
циалом в т. z и обозначается df (z). Таким образом, |
df (z)= A (z) |
z . |
||||
Убедимся, |
что нелинейную часть ω приращения функции можно пред- |
|||||
ставить в виде |
z)= p (z, |
z) |
|
|
|
|
ω(z, |
z , |
|
(1.79) |
|||
где |
|
z)= 0. |
|
|
|
|
lim p (z, |
|
|
(1.80) |
|||
z→0 |
|
|
|
|
|
|
Действительно, полагая |
|
|
|
|
||
ω(z, |
z) = p (z, |
z), |
ω(z, z)= p (z, |
z) z |
(1.81) |
|
z |
|
|
|
|
|
26
и учитывая (1.78), получаем (1.80). Обратное очевидно. |
|
|
|
|
||
Замечание. (1.79), (1.80) равносильно |
|
|
|
|
|
|
ω(z, z)= p (z, z) x + q (z, z) y, |
|
(1.82) |
||||
lim p(z, |
z)= lim q (z, z)= 0. |
|
|
|||
z→0 |
z→0 |
|
, когда она диф- |
|||
Теорема 1.5. ФКП допускает производную в точке z |
||||||
ференцируема в этой точке. |
|
|
f (z) |
|
||
Доказательство. Необходимость. (1.76) |
|
′ |
, |
|||
|
z |
|
||||
p (z, z)+ f (z)= |
||||||
|
′ |
z . Теперь |
остается |
сравнить |
||
lim p(z, z)= 0, f (z)= f (z) z + p (z, z) |
||||||
z→0 |
|
|
|
|
|
|
полученное с (1.77), (1.79) и (1.80), что завершает доказательство необходимо-
сти. |
|
|
|
|
|
|
Достаточность. Из (1.77), (1.78) следует |
|
|||||
lim |
f (z) |
= lim A (z)+ ω(z, |
z) |
= A (z)+ lim ω(z, z) = A (z), то |
||
z→0 |
z |
|
z |
|
z→0 |
z |
z→0 |
|
|||||
′ |
|
|
|
|
|
|
есть f (z)= A(z). Теорема доказана полностью. |
|
|||||
Таким образом, при условии дифференцируемости, формулу (1.77) мож- |
||||||
но написать так: |
|
z) |
|
|
|
|
|
f (z)= f ′(z) z + p (z, |
z . |
|
(1.83) |
||
Следовательно, (1.83) совместно с требованием (1.80) определяют необ- |
||||||
ходимые и достаточные условия дифференцируемости f (z) |
в т. z . И при этом |
условии и f ′(z)≠ 0 дифференциал функции f (z) в т. z определяется равенст-
вом df (z)= f ′(z)dz, z = dz .
Теорема 1.6. Если ФКП ω = f (z) допускает f ′(z) в точке z = x + i y , то вещественная и мнимая части этой функции допускают частные производные в точке (x, y) и эти частные производные должны удовлетворять условиям
u′ |
(x, y)= v′ |
(x, y), |
|
||
|
x |
y |
|
|
(1.84) |
|
|
(x, y)= −u′ |
(x, y). |
||
v′ |
|
||||
|
x |
|
y |
|
|
Условия (1.84) называются условиями Коши-Римана (К-Р) либо Далам-
бера-Эйлера (Д-Э).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
Доказательство. Предположим, что производная f (z) . Тогда согласно |
||||||||||||
(1.72) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
′ |
lim |
u (x, y)+ i v |
(x, y) |
= |
|
|
= |
||||
|
|
|
||||||||||
f (z)= |
|
x + i y |
|
|
x → 0 |
|
||||||
|
|
z→0 |
|
|
|
|
x ≠ 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= lim |
u (x, y) |
+ i lim |
v (x, y) |
= u′x (x, y)+ i v′x (x, y), |
||||||||
|
|
|||||||||||
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
27

|
f ′(z)= u′x (x, y)+ i v′x (x, y), |
|
|
|
|
|
|
|
(1.85) |
|
|||
так как предел не должен зависеть от способа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
стремления z* → z (z* ≠ z). Здесь z* → z по |
|
|
y |
|
• z* |
|
|
||||||
прямой |
x = const (рис. 1.9). Аналогично, уст- |
|
|
y• |
z • |
|
|
||||||
ремляя |
z* → z по |
прямой y = const (рис. |
|
|
|
|
|||||||
1.9), имеем |
|
|
u (x, y)+ i v (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
lim |
|
= |
0 |
|
|
x |
x |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
{xy→=00 |
|
i y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y≠0 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
[u′y (x, y)+ i v′y (x, y)]= |
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
= |
= −i |
= v′y (x, y)− i u′y (x, y). |
|||||||
i |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
i |
i2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
f ′(z)= v′y (x, y)− i u′y (x, y). |
(1.86) |
|
||||||||
Сравнение (1.85) и (1.86) дает (1.84). Что и требовалось доказать. |
|
|
|||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f ′(z)= u′x (x, y)+ i v′x (x, y)= v′y (x, y)−i u′y (x, y). |
(1.87) |
|
||||||||
Теорема 1.7. При условии (1.84) ФКП ω = f (z) допускает производную |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) в точке z = x + i y , когда вещественная и мнимая части f (z) диффе- |
||||||||||||||
ренцируемы в точке (x, y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Доказательство. Необходимость. Согласно (1.83) и (1.80) |
|
|||||||||||
|
|
f (z)= u(x, y)+ i v (x, y)= |
|
|
|
|
||||||||
= [u′x (x, y)+ i v′x (x, y)] ( x + i y)+ |
|
|
|
|
||||||||||
+[α(x, y, x, y)+ iβ(x, y, x, y)] ( x +i y)= |
|
|||||||||||||
|
|
α = α (x, y, x, y)= Re p (z, z)→ 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
β = β (x, y, x, y)= Jm p (z, z)→ 0 |
|
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
при z → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [u′x x + u′y |
y]+i [u′x |
y + u′x x]+ |
|
α x −β y +i (α y +β x) |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
u (x, y)= d u |
(x, y)+ α |
x −β |
|
y, |
(1.88) |
|||||||
|
|
v (x, y)= d v |
(x, y)+ α |
y +β |
|
x, |
(1.89) |
|||||||
последнее означает дифференцируемость u (x, y)= Re f (z), |
|
|||||||||||||
v (x, y)= Jm f (z) в рассматриваемой точке (x, y), если учесть, что |
|
|||||||||||||
|
|
lim α |
x −β |
y = 0, lim α |
y + β x = 0 . |
(1.90) |
||||||||
|
|
x→0 |
|
z |
|
x→0 |
|
z |
|
|
||||
|
|
y→0 |
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность. Из (1.88), (1.89) согласно (1.84), (1.87) и (1.90) имеем
28

u +i v = f (z)= (u′x dx + u′y dy)+ α x +β y + |
|
|||
+ i [(v′x dx + v′y dy)+ γ x + δ |
y]= (u′x +i v′x )dx + (u′y + i v′y )dy + |
|||
+ α x +β y +i (γ x + δ y)= (u′x + i v′x ) (dx +i dy)+ α x + |
||||
+β y + i (γ |
x + δ |
′ |
+ ω(z, z). |
|
y)= f (z) z |
|
|||
u + i |
v = |
f (z)= f ′(z) |
z + ω(z, z), |
(1.91) |
где (см. (1.82)) |
z)= (α + i γ) x + (β + i δ) y , |
|
||
ω(z, |
(1.92) |
|||
lim ω(z, z) |
= 0 ω(z, |
z)= p (z, z) z , |
(1.93) |
|
z→0 |
(z,z z)= 0 |
|
|
|
lim p |
|
(1.94) |
||
z→0 |
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19. Функция ω = f (z) называется аналитической в открытой области D , если в каждой точке этой области она дифференцируема и при этом должно удовлетворяться требование: f ′(z)−непрерывная функция для каждой точки
Замечание. Требование непрерывности f ′(z) вводится из методических
соображений, так как при строгом изложении курса указанное требование можно доказать из производной в каждой точке области D .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20. Функция ω = f (z) называется аналитической в
т. z0 , если окрестность этой точки ω: z − z0 < δ, в которой эта функция
аналитическая; f ′(z)−непрерывная функция для каждого z ω.
Отметим, что правила дифференцирования, которые имеют место для действительных функций, справедливы и для ФКП.
ПРИМЕР 1.13. (ez )′ = ez . Доказать.
ω = ez = ex+i y = ex (cos y + i sin y)= ex cos y + i ex sin y .
Отсюда согласно (1.87) имеем (ez )′ = (ex cos y)′x + i (ex sin y)′x =
= ex (cos y + i sin y)= ez , что и надо доказать. Отсюда следует, что ez −ана-
литическая функция на всей конечной комплексной плоскости. |
|
||||||||||||
ПРИМЕР 1.14. Найти производные функций sin z, |
cos z . |
|
|||||||||||
Решение. |
− e−i z ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
′ |
ei z |
|
1 |
|
i z |
−i z |
i ei z + e−i z |
|
|||||
(sin z) |
|
|
|
|
= |
|
(i e |
|
+i e )= |
|
|
|
= cos z ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
2i |
|
2i |
|
2i |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
′ |
|
i z |
+ e |
−i z ′ |
|
|
1 |
(i e |
i z |
|
|
−i z |
)= |
|
i i |
(e |
i z |
|
|
−i z |
)= −sin z . |
||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(cos z) = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
−i e |
|
|
|
|
|
|
− e |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: (sin z)′ |
= cos z; |
|
(cos z)′ |
= −sin z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ПРИМЕР |
1.15. |
Найти |
|
производные |
|
функций tg z, ctg z,sh z, ch z, . |
|||||||||||||||||||||||
th z, cth z |
|
|
|
|
|
sin z ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
cos2 z +sin 2 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. (tg z) |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
z |
|
|
|
cos |
z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
sin z ′ |
|
−sin 2 |
z − cos2 |
x |
|
1 |
|
|
|||||
Аналогично, (ctg z) |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
sin |
z |
|
|
sin |
z |
||||
|
cos z |
|
|
|
|
|
′ |
ez − e−z ′ |
|
ez + e−z |
|
||||
(sh z) |
|
|
|
|
= |
|
|
= ch z ; |
|
|
|
||||||
= |
2 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
′ |
ez + e−z ′ |
|
|
ez − e−z |
|
|||
(ch z) |
|
|
|
|
= |
|
|
= sh z ; |
|
|
|
|
|||||
= |
2 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
′ |
ch 2 z −sh 2 z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(th z) = |
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
ch 2 z |
|
|
ch 2 z |
|
|
|
|
|
|
||||||
′ |
ch z ′ |
|
sh 2 z −ch |
2 z |
|
1 |
|
|
||||||||
(cth z) = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
sh |
z |
|
|
|
sh |
z |
|||
|
sh z |
|
|
|
|
|
|
|
|
(tg z)′ = |
1 |
; |
(ctg z)′ = − |
1 |
; |
(sh z)′ = ch z; |
||||||||
cos2 z |
sin 2 z |
|||||||||||||
Ответ: |
′ |
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
′ |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(ch z) |
= sh z; (th z) |
= |
|
; (cth z) |
= − |
|
. |
|||||||
ch 2 z |
sh 2 z |
|||||||||||||
Отсюда следует, что элементарные функции комплексного переменного – |
||||||||||||||
аналитические функции на конечной комплексной плоскости. |
||||||||||||||
Почленно дифференцируя (1.84), получим |
|
|
|
|
||||||||||
′′ |
′′ |
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|||
u xx (x, y)= v yx |
(x, y), u yy = −vxy (x, y), |
|
|
|
|
|||||||||
′′ |
′′ |
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
||||||
vxx (x, y)= −u yx (x, y), v yy = u xy (x, y), что дает |
||||||||||||||
′′ |
′′ |
|
′′ |
|
′′ |
|
(1.95) |
|||||||
uxx + uyy |
= 0, vxx |
+ vyy = 0, |
|
где предполагается непрерывных вторых частных производных.
30

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21. Функция, удовлетворяющая (1.95), называется
гармонической функцией.
Согласно последнему определению действительная и мнимая части аналитической функции – гармонические функции, удовлетворяющие условиям К- Р.
Покажем на примере, как восстановить аналитическую функцию по заданной вещественной или мнимой части.
ПРИМЕР 1.16. v (x, y)= x y, 0 ≤ |
|
|
z |
|
< +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. vx = y, |
vxx = |
0; vy = x, vyy |
= 0, vxx |
+ vyy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно (1.84) |
|
|
|
u |
′x (x, y)= x, |
|
u (x, y)= ∫x dx = |
|
x 2 |
+ ϕ(y), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′y (x, y)= −y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где ϕ(y) не зависит от x и в этом смысле выполняет роль постоянной интег- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рирования. |
|
|
Дифференцируя по y , находим отсюда с учетом второго условия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
системы, что ϕ (y)= −y, ϕ(y)= − 2 + C, C = const . Таким образом, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
z + |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 2 z z + z |
|
|
z2 − 2 z z + z |
|||||||||||||||||||||||||
f (z)= |
− |
|
+ C + i xy = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
z − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z2 − |
|
2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ C + |
z |
= |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ω = f |
(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.96) |
|
||||||||||||
задана |
|
в области |
D и |
допускает отличную |
от нуля |
производную |
в |
т. z0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ′(z0 )≠ 0 . Тогда ее дифференциал в т. z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d ω0 |
|
= f ′(z0 )dz 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.97) |
|
||||||||||||||||
может |
|
интерпретироваться |
|
|
|
|
как |
|
|
|
|
|
|
смещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.ω0 ( |
|
ω0 |
|
|
≈ d ω0 ), |
|
соответствующее |
|
|
|
|
достаточно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
малому |
смещению |
|
d z0 = |
z0 . На |
|
самом |
деле |
|
• |
d ω0 |
≈ |
ω0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d ω − |
|
|
|
|
|
|
|
линейная |
|
|
часть |
|
|
|
|
|
смещения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ω00 ( |
|
ω0 |
|
≈ d ω0 ) (рис. 1.10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 z•0 |
|
d z0 |
z |
|
|||||||||||||||||||||||||
(1.97) |
|
|
|
d ω0 |
|
ei ψ = |
|
f ′(z 0 ) |
|
ei α |
|
d z 0 |
|
|
ei ϕ . |
(1.98) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31

|
|
|
|
|
|
|
|
d ω |
|
|
|
= |
|
f |
′ |
|
|
) |
|
|
|
d z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(z |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(1.98) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.99) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i ψ |
|
|
|
|
i α |
|
i ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= e |
e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где ϕ = arg dz0 , |
α = arg f ′(z0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Первое из равенств (1.99) геометрически интерпретируется так: в доста- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точно |
|
|
малой |
|
|
окрестности |
|
т. |
z0 расстояние |
|
(линейный |
элемент) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
zp |
|
= |
|
z − z0 |
|
= |
|
d z0 |
|
|
между прообразами z0 и z изменяется с одним и тем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
же |
коэффициентом подобия k = |
|
f ′(z0 ) |
|
≠ 0 , не зависящим от выбора т. z (ли- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нейного элемента), то есть |
|
|
|
имеет место подобное преобразование (отображе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние) окрестности т. z0 с коэффициентом подобия k = |
|
f ′(z0 ) |
|
≠ 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Второе |
|
равенство |
|
|
из |
(1.99) |
|
|
означает, что |
|
направление |
вектора |
|||||||||||||||||||||||||
d ω0 = ω0ω, ω = f (z), получается из направления вектора p = z0 z |
поворо- |
том на угол α независимо от выбора его конца z , то есть образ вектора p −
вектор составляет угол αс прообразом p . Отсюда следует, что ес-
ли рассмотреть угол между векторами p1 = z0 z1 , p2 = z0 z2 , z1 и z2 принад-
лежат достаточно малой окрестности т. z0 , то при отображении (1.96) этот угол сохраняется как по величине, так и по направлению.
Выбирая теперь гладкую линию l Э т. z0 : z (t)= x (t)+ i y (t), где при |
|
t = t0 z (t0 )= x (t0 )+ i y (t0 )= z0 , видим, что образ этой линии |
L = f (l) |
определяется уравнением |
|
ω(t)= f [z (t)], ω0 = ω(t0 )= f [z (t0 )]= f (z0 ). |
(1.100) |
Из первого равенства (1.100) дифференцированием получаем |
|
ω′(t)= f ′[z (t)] z′(t), ω′(t 0 )= f ′(z0 ) z′(t 0 ), |
(1.101) |
где z′(t0 )≠ 0 определяет направление касательной к l в т. z0 , ω′(t0 ) дает на- |
|
правление касательной к L = f (l) в т. ω0 = f (z0 ). |
|
Выбирая в достаточно малой окрестности т. z0 две линии l1 |
и l2 , про- |
ходящие через эту точку, и принимая во внимание геометрическую интерпретацию (1.99), приходим к выводу, что при отображении (1.96) угол между об-
разами L1 = f (l1 ), L2 = f (l2 ) равняется углу между прообразами l1 и l2 по
величине и направлению (по знаку).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22. Непрерывное отображение области D комплексной плоскости z на область T комплексной плоскости ω называется конформным, если в каждой точке z D выполняются два условия: 1)сохраняются величины углов и 2)имеет место подобное преобразование (отображение) окрестности этой точки.
32