УМК11

то есть все значения z после z* попадают в открытый

круг радиуса δ с центром в точке z0 (см. рис. 1.7). Кратко

•z • z0

определение 1.13 означает, что

z − z0

= (x − x 0 )2 + (y − y0 )2

− есть бесконечно ма-

лая действительная величина.

Теорема 1.3.

z = x +i y

→ z0 = x 0 + i y0 ,

Рис. 1.7

когда

x → x0

,

(1.63)

,

y → y 0

lim z = lim (x + i y)= lim x + i lim y = x0 + i y0 .

(1.64)

Доказательство. Необходимость. Так как

x − x 0

,

y − y0

≤

z − z0

=

(x − x 0 )2 + (y − y0 )2 ,

то

согласно

условию

(1.62)

x − x 0

< δ,

y − y0

< δ, что приводит к (1.63). Необходимость доказа-

на.

δ > 0

Достаточность.

Условие

(1.63) означает

следующее:

x* = x* (δ),

y* = y* (δ),

2

что все последующие значения

x и y удовлетво-

ряют

δ

δ

требованиям

x − x 0 <

, y − y0

<

. Отсюда для таких

y

D

2

2

x и y имеем

z − z0

=

x + i y −(x 0 +i y0 )

=

0

x

= (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 <

δ2

+ δ2 = δ

0′

v

T

2

2

•

Этим теорема доказана полностью.

u

Из теоремы 1 (см. (1.64)) следует, что все

теоремы о пределах переменной вещественной

Рис. 1.8

величины имеют место и для переменной ком-

плексной величины.

Понятие функции комплексного переменного (ФКП). Рассмотрим две

комплексные плоскости z и

ω (рис. 1.8).

(образ), то говорят, что задана однозначная (многозначная) функция

комплекс-

ного переменного, и это записывают так:

ω =f (z),

(1.65)

при этом D называется областью определения функции f (z), а

T − обла-

Выделяя вещественную и мнимую части, (1.65) можно записать в виде

ω = u + i v = f (x + i y)= u (x, y)+ i v (x, y),

(1.66)

где

u = u (x, y)= Ref (z), v = v (x, y)= Jm f (z).

(1.67)

ных на D .

Предел. Непрерывность ФКП

A = A1 + i A2 называется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Комплексное число

пределом

функции

f (z) при

z → z0 и

это записывается

так:

lim f (z)= A

f (z)→ A

при

z → z0 ,

если

для

z→z0

δ = δ(ε)> 0 , что как только

ε > 0

0 <

z − z0

< δ,

(1.68)

то для таких z

имеет место

f (z)− A

< ε.

lim f (z)

(1.69)

Геометрическая

иллюстрация

заключается в следующем:

z→z0

lim u(x, y)≡ lim Ref (z)= A1

= Re A,

x→x

x→x

y→y00

y→y00

(1.71)

= Jm A.

lim v(x, y)≡ lim Jm f (z)= A2

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

lim f (z)= lim [u (x, y)+ i v (x, y)]=

z→z0

x→x0

y→y0

(1.72)

= lim u(x, y)+i lim v(x, y),

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

то

есть квадратные скобки можно

раскрывать,

если

пределы от

Re f (z), Jm f (z) и конечны (числа).

Непрерывность ФКП

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Функция ω = f (z) непрерывна в т. z0 , если в

этой точке функция определена и ее предел при z → z0

равен значению функ-

ции в этой точке, то есть

lim f (z)= f (z0 ).

(1.73)

z→z0

Согласно теореме 1.4 (1.73) означает следующее: ω = f (z) непрерывна в

т. z0

= x + i y , когда ее вещественная

и мнимая

части –

непрерывные

функции в точке (x 0 , y0 ), то есть

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Если lim

f (z), то он называется производ-

z→0

z

ной ФКП ω = f (z)= u(x, y)+ i(x, y) в т. z

′

и обозначается f (z).

Таким образом, по определению производная

f ′(z)=

(

lim

f (z)

,

(1.76)

z >0)

z

z→0

z = z* − z = (x* − x)+ i (y* − y)=

где z = x + i y, z*

= x* + i y* ,

= x + i y, x = x* − x, y = y* − y,

z → 0 = 0 + i 0

x → 0,

y → 0,

но x 2 + y2 ≠ 0; f (z)= f (z* )− f (z)= f (z + z)− f (z)=

висит от способа стремления z → 0 при условии

z

> 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. ФПК ω = f (z) называется дифференцируемой в

т. z , если ее приращение в этой точке представимо в виде

f (z)= A (z) z + ω(z, z),

(1.77)

нейно относительно приращения

z , а второе слагаемое есть бесконечно ма-

лая величина, более высокого порядка малости, чем

z , то есть

lim ω(z,

z)= 0.

(1.78)

z→0

z

При условии дифференцируемости f (z) в т. z и A (z)≠ 0 главная часть

приращения функции,

линейная относительно z ,

называется ее дифферен-

циалом в т. z и обозначается df (z). Таким образом,

df (z)= A (z)

z .

Убедимся,

что нелинейную часть ω приращения функции можно пред-

ставить в виде

z)= p (z,

z)

ω(z,

z ,

(1.79)

где

z)= 0.

lim p (z,

(1.80)

z→0

Действительно, полагая

ω(z,

z) = p (z,

z),

ω(z, z)= p (z,

z) z

(1.81)

z

и учитывая (1.78), получаем (1.80). Обратное очевидно.

Замечание. (1.79), (1.80) равносильно

ω(z, z)= p (z, z) x + q (z, z) y,

(1.82)

lim p(z,

z)= lim q (z, z)= 0.

z→0

z→0

, когда она диф-

Теорема 1.5. ФКП допускает производную в точке z

ференцируема в этой точке.

f (z)

Доказательство. Необходимость. (1.76)

′

,

z

p (z, z)+ f (z)=

′

z . Теперь

остается

сравнить

lim p(z, z)= 0, f (z)= f (z) z + p (z, z)

z→0

сти.

Достаточность. Из (1.77), (1.78) следует

lim

f (z)

= lim A (z)+ ω(z,

z)

= A (z)+ lim ω(z, z) = A (z), то

z→0

z

z

z→0

z

z→0

′

есть f (z)= A(z). Теорема доказана полностью.

Таким образом, при условии дифференцируемости, формулу (1.77) мож-

но написать так:

z)

f (z)= f ′(z) z + p (z,

z .

(1.83)

Следовательно, (1.83) совместно с требованием (1.80) определяют необ-

ходимые и достаточные условия дифференцируемости f (z)

в т. z . И при этом

u′

(x, y)= v′

(x, y),

x

y

(1.84)

(x, y)= −u′

(x, y).

v′

x

y

′

Доказательство. Предположим, что производная f (z) . Тогда согласно

(1.72) имеем

y = 0

′

lim

u (x, y)+ i v

(x, y)

=

=

f (z)=

x + i y

x → 0

z→0

x ≠ 0

x→0

{y→0

= lim

u (x, y)

+ i lim

v (x, y)

= u′x (x, y)+ i v′x (x, y),

x→0

x

x→0

x

u +i v = f (z)= (u′x dx + u′y dy)+ α x +β y +

+ i [(v′x dx + v′y dy)+ γ x + δ

y]= (u′x +i v′x )dx + (u′y + i v′y )dy +

+ α x +β y +i (γ x + δ y)= (u′x + i v′x ) (dx +i dy)+ α x +

+β y + i (γ

x + δ

′

+ ω(z, z).

y)= f (z) z

u + i

v =

f (z)= f ′(z)

z + ω(z, z),

(1.91)

где (см. (1.82))

z)= (α + i γ) x + (β + i δ) y ,

ω(z,

(1.92)

lim ω(z, z)

= 0 ω(z,

z)= p (z, z) z ,

(1.93)

z→0

(z,z z)= 0

lim p

(1.94)

z→0

литическая функция на всей конечной комплексной плоскости.

ПРИМЕР 1.14. Найти производные функций sin z,

cos z .

Решение.

− e−i z ′

′

ei z

1

i z

−i z

i ei z + e−i z

(sin z)

=

(i e

+i e )=

= cos z ;

=

2i

2i

2i

2

′

i z

+ e

−i z ′

1

(i e

i z

−i z

)=

i i

(e

i z

−i z

)= −sin z .

e

(cos z) =

=

−i e

− e

2

2

2i

Ответ: (sin z)′

= cos z;

(cos z)′

= −sin z .

ПРИМЕР

1.15.

Найти

производные

функций tg z, ctg z,sh z, ch z, .

th z, cth z

sin z ′

′

cos2 z +sin 2 x

1

Решение. (tg z)

=

=

=

.

2

2

cos

z

cos

z

cos z

′

sin z ′

−sin 2

z − cos2

x

1

Аналогично, (ctg z)

=

=

= −

.

2

2

sin

z

sin

z

cos z

′

ez − e−z ′

ez + e−z

(sh z)

=

= ch z ;

=

2

2

′

ez + e−z ′

ez − e−z

(ch z)

=

= sh z ;

=

2

2

′

ch 2 z −sh 2 z

1

(th z) =

=

;

ch 2 z

ch 2 z

′

ch z ′

sh 2 z −ch

2 z

1

(cth z) =

=

=

.

2

2

sh

z

sh

z

sh z

(tg z)′ =

1

;

(ctg z)′ = −

1

;

(sh z)′ = ch z;

cos2 z

sin 2 z

Ответ:

′

′

1

′

1

(ch z)

= sh z; (th z)

=

; (cth z)

= −

.

ch 2 z

sh 2 z

Отсюда следует, что элементарные функции комплексного переменного –

аналитические функции на конечной комплексной плоскости.

Почленно дифференцируя (1.84), получим

′′

′′

′′

′′

u xx (x, y)= v yx

(x, y), u yy = −vxy (x, y),

′′

′′

′′

′′

vxx (x, y)= −u yx (x, y), v yy = u xy (x, y), что дает

′′

′′

′′

′′

(1.95)

uxx + uyy

= 0, vxx

+ vyy = 0,

ПРИМЕР 1.16. v (x, y)= x y, 0 ≤

z

< +∞.

′

′′

′

′′

′′

′′

Решение. vx = y,

vxx =

0; vy = x, vyy

= 0, vxx

+ vyy = 0 .

Согласно (1.84)

u

′x (x, y)= x,

u (x, y)= ∫x dx =

x 2

+ ϕ(y),

′y (x, y)= −y

2

u

где ϕ(y) не зависит от x и в этом смысле выполняет роль постоянной интег-

рирования.

Дифференцируя по y , находим отсюда с учетом второго условия

′

y2

системы, что ϕ (y)= −y, ϕ(y)= − 2 + C, C = const . Таким образом,

x =

z +

z

2

2

x 2

y2

z2 + 2 z z + z

z2 − 2 z z + z

f (z)=

−

+ C + i xy =

2

=

+

+

2

2

y =

z − z

8

8

2i

z2 −

2

z2

+ C +

z

=

+ C .

4

2

Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП

Пусть функция

ω = f

(z)

(1.96)

задана

в области

D и

допускает отличную

от нуля

производную

в

т. z0 :

f ′(z0 )≠ 0 . Тогда ее дифференциал в т. z0