Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

3.2.19. а) образом прямой y = c

(c ≠ 0)является эллипс

= 1 ,

ch2 c

sh2 c

образом прямой y = 0 является отрезок действительной оси −1 ≤ u ≤ 1;

б) верхняя половина эллипса

≤ 1,

v ≥ 0.

ch2 c

sh2 c

3.2.20. Gw − часть кольца в первом квадрате,

образованного эллипсами

= 1

= 1.

5 2

3 2

10 2

8 2

3.2.21. а) нет;

б) да,

f ′(z) = 3cos3z ;

в) нет;

г) да, f ′(z) = 2zez2 .

3.2.22. а) нет;

б) да;

в) нет.

3.2.24. 1) w = u + iv = (x3 − 3xy2 )+ i(3x2 y − y3 )= z3 ;

2 x

(− sin 2y + i cos2y)+ C.

2) w =

+ i

−

+ C

; 3) w = 3e

x2 + y2

+ y2

3.2.25. а) k = 3, ϕ = 0;

б) k = 6,ϕ = −

π.

3.2.26.а) 1, 0; б) 1, − π2 .

3.2.27.растягивается внешность круга z > 12 ; сжимается внутренность

круга z < 12 .

3.2.28.а) да; б) да; в) нет.

3.2.29.а) 0; б) − 92 π

3.2.30. а) i ;

б) i π

;

в) 2 πi .

3.2.31. cos1 − sin1 − i e−1.

3.2.32. а) 0;

б) π ;

в) − π ;

г) 0.

3.2.33. 2πi

3.2.34. 4 πi .

π i ;

πi

3.2.35. 1) 0;

2) −

πi sin 2 ;

4) −

;

5) −

πi.

153

3.2.36. 1) сходится; 2) расходится; 3) сходится.

3.2.37. 1)

z + i

< 3;

2) z = 0;

z +1 − i

> 1; 4) всюду расходится

∞ (−1)

−

3.2.38. 1)

∑

(R = ∞)

(2n)!

n=0

2) ∑∞ (−1)n (z3n − z3n+1 )(R =1),

n=0

+1 (z + 3)

3) ln 4 + ∑(−1)n

(R = 2)

∞

n=1

n 4n

3.2.39. 1)

∑(−1)

+ ∑(−1)

∑(−1)n (z −1)n ;

; 2)

∞

n=1

n=0

2n+1

n=2

n−1

∞

n−2

∞

−

(z − i)2 −

(

)

3) ∑

; 4)

+ ∑

n=1

n=1 (2n + 3)!(z − i)2n

3.2.40. 1) z = ±3i − нули 3.2.-го порядка, z = ±2 i − нули 5-го порядка,

2) z = 2kπi (k = 0,±1,±2,K)− нули 3.2.-го порядка, z = ±2 − нули 3-го

порядка;

3) z = 0 − ноль 2-го порядка.

3.2.41. 1) z = 0 и z = −1 − простые полюсы, z = 1 − полюс 3-го порядка; 2) z = 1 − существенно особая точка; 3) z = −π − устранимая особая точка, z = ±1 − простые полюсы; 4) z = 0 − существенно особая точка.

3.2.42.1) полюс 2-го порядка; 2) устранимая особая точка;

3)полюс 3-го порядка; 4) существенно особая точка.

3.2.43.

res f (1)=

, resf (0)= −2,

f(−1) =

;

2) resf(1) =

;

3) resf(±1) =

sin(±1)

, resf(− π) = 0; 4) resf(0) = 1.

± 2(π ±1)

3.2.44.

−1;

2) 0;

3) − 81;

4) 0

3.2.45.

(2 + πi);

2) −

πi

; 3) −

2 πi

; 4)

− π2

i .

154

3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание №1

Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа, представить его в тригонометрической и показательной формах. Изобразить число на комплексной плоскости

1.	2 + 5i ;	12.	2 + 2i ;	23. 1 −i ;
2.	− 2 + 5i ;	13.	− i 3 ;	24.	− 2 + 2 i
3.	2 −5i ;	14. 1 −i ;		25.	7 + 3i ;
4.	− 2 − 5i ;	15.	3 + i ;	26.	−1 + 2 i ;

5.		π		π
5.	− cos		+ i sin	;
		5		5

6.− 2 + 2 3 i ;

7.− 7 −i ;

8.4 −3i ;

9.3 − 4i ;

10.3i;

11.1 + i ;

16.	i	3 ;	27.	−1	−5i ;
17.	−	3 − i ;	28.	−1	− 2i ;
18.	3	2 + i 2 2 ;	29. 1 4 + 3i ;

19.	− 3 + 3i ;					30.	− 3 + i ;
20.	2 − 2 i;					31.		2 + 2i	;
20.	2 − 2 i;					31.		1 − i	;
								1 − i
21.		π			π	32.	1 − 3 + i			.
21.	cos			+ i sin	;	32.		3 −	1	.
		3			3			3 −	1
22.	− 1 −			3 i ;
	2		2

Задание №2

Вычислить и изобразить результат на комплексной плоскости

		1 − 2 i 6								1			4			2		2	17
1.				;	12.		(	2 + i)				− i	;	23.			− i			;
1.				;	12.		(	2 + i)				− i	;	23.			− i			;
	2 + i															2		2
	2 + i										2					2		2
		3i − 2 10				1		−i 20										18
2.				;	13.				;					24.	(3 + i		3) ;
2.		2 + 3i		;	13.				;					24.	(3 + i		3) ;
		2 + 3i				1		+ i
		2 −i	15		14.		−	1 − i	3		10					2 3 +i		12
3.		2 −i		;	14.		−	1 − i	3			;		25.		2 3 +i			;
3.				;				2	2					25.					;
		3 + i						2	2							3	+ i

155

4. [( 3 − i)(1 + i 3)]8 ;

− 2 14

5.;

1 + i

6.12 (7i −5)10 ;

7.(3 + 4 i)(1 − 2i) 4 ;

	1	− i	3	3
8.					;
	1	+ i	3

(sin 300 + i sin 600 )3 ;

10.		− 2 − 2 i 10
10.		1 + 2i	;
		1 + 2i
11.	(1 + i)8 ;

		2		2	6
15.	−		+ i			;
		2		2

16.2 +i 4 ;

2 − i

17.1 −i 6 ;

1 + i

18.[(1 + i 3)(1 − i)]15 ;

19.− 2 − 5i 20 ;

1 + i

20.(−1 + i 3)30 ;

21.(2 + i 5)15 ;

	3 −i	15
22.	3 −i		;
22.			;
	3 + i

26.3 −i 9 ;2 + i

2 −i 40

27.;1 + 2i

28.cos π + i sin π 4 ;

4 4

i + tg π 4

29. 3 ;

i − tg π3

		π	+ i sin		π	18
30. cos							;
30. cos	12			12			;
	12			12

31.1 +i 5 ;

1 − i

32.2 +i 4 .

1 − 2i

Задание №3

Найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости

1.	3		i		;	12.	3	2 − 2		3 i;					23.	5 (1 − i)2i;
1.	3	1	−	2 i	;	12.	3	2 − 2		3 i;					23.	5 (1 − i)2i;
		1	−	2 i
2.	3 (1 − i)(2 + 3i);					13.	5				π	+ i sin	π		24.	3	i		;
2.	3 (1 − i)(2 + 3i);					13.	5		2 cos		6	+ i sin	6	;	24.	3			;
											6		6			1 − 2 i
3. 4 −1;						14. 4 3			2 + i 2			2;			25.	3 −	1	+		3 i;
																	2			2

156

4.6 −8 −8i;

5.8 1;

1−i

6.4 1 + i ;

7. 2 + 2i;

8.3 cos π4 + i sin π4 ;

9.−8 +8 3 i;

10.1 + (2 − 3)i;

11.	− 4 −3i	;
	1 + i

15.	5 1 + i;
16.	3	3i	;
		2 + 2 3 i

17. − 52 + 12 i;

18.4 (1 + i)(1 −i);

i−3

19.2 + i ;

20. − 52 + 52 i;

21. 3 + 3i;

22.3 (1 −i)(1 + 2i);

26.	5	2	;
	1	−3i

27.3 i( 3 + i);

28.3 1 + 3i;

29.4 − 2 + 2i;

30.4 3 + i;

31.4 i(3 −i);

1+ i

32.3 1 −i .

Задание №4

Вычислить геометрический смысл соотношений

z − z1

z − z2

;

17.

Re (1 + z)=

;

z − 2

−

z + 2

> 3;

z2 +

=1;

18.

z − 2

z + 2

= 5;

Re (z2 +

)= 0;

19.

Re z + Im z <1;

;

20.

z − 2

1 − 2z

Re z = Im z;

21.

2 zz

+ (2 + i)z + (2 −i)z = 2;

0 ≤ Im z ≤1;

22.

0 < Re(i z)<1;

z −1

≤1;

23.

α < arg(z − z0 )< β,

z +1

− π < α < π

157

8.1 ≤ z + 2 + i ≤ 2;

9.z −1 < z −i ;

10.z − Re z ≤ 0;

11.Re 1 = 1 ;

z 9

12.Im 1z < − 12 ;

13.4 ≤ z −1 + z +1 ≤ 8;

14.Im z2 <1;

15.z > 2 + Im z;

16.z −a < 1 −az ; a ≠ 0;a R;

24.z = Re z +1;

25.Re z ≥ C, C R ;

26.0 < Re(i z)<1;

27.Im 1 = 1 ;

z 2

z < arg z,

0 ≤ arg z < 2π

z < arg z,

0 < arg z < 2πarg zz −−zz1 = α,

30.2

− π < α < π

31.0 < Re[i(z + 2)]<1;

32.0 < Im[i(z + 2)]<1.

Задание №5

Проверить, являются ли аналитическими функции

w = ez ;

17.

w =

Im z;

w =

w = z2

18.

w = z Re z;

19.

w = z ez ;

w = sin z;

w =

20.

w = cos z;

21.

w = ez2 ;

w = z2 ;

w =

22.

w = z;

23.

w = sin 3z −i;

158

8. w = zez + (1 + i)z;

w =

Re z;

24.

9. w =

;

w = z

25.

10.

w = 2sh z − z2 ;

26.

w = z2 + 3i z;

11.

w = 2 cos 2z + z;

27.

w = 2sin z − z;

12.

w = 2i(cos z −1)−i z2 + 2;

28.

w = 2i(cos z −1);

w =

;

w = (

+1)(

−1);

13.

29.

14.

w = ln z;

30.

w = z2 + 2

+ i;

15.

w = ch z;

31.

sh z;

16.

w =

Im z;

32.

w = ch z.

Задание №6

	Найти аналитическую функцию w = u + i v , если известно, что
1.	u = x3 −3 x y2 ;						17.	v = 2 cos x ch y − x 2 + y2
							17.	w(0)= 2,
2.	u =		x		;		18.	u = 2 ex cos y,	w(0)= 2;
2.	u =	x 2 + y2			;		18.	u = 2 ex cos y,	w(0)= 2;
		x 2 + y2
3.	u = x 2 − y2 + 2x;						19.	v = 3x + 2xy,	w(−i)= 2;
4.	u =		x		− 2y;		20.	u = ex (x cos y − y sin y);
4.	u =	x2 + y2			− 2y;
5.	u = 2 ex sin y;						21.	v = ex (y cos y + x sin y);
6. v = −				y		;	22.	u = x 2 − y2 − x;
6. v = −			(x +1)2 + y2			;
7.	v = 2 x y + 3 x;						23.	v = x + y;

159

8. v = arctg

, x > 0;

24.

u = 2x cos(y ln 2);

9. u =

, w(π)=

;

25.

v = sin x sh y;

x 2 + y2

10.

v = ex (y cos y + x sin y)+ x + y;

26.

u = ex cos y;

11.

v = arctg

, x > 0, w(1)= 0;

27.

v = ex sin y;

12.

u = x 2 − y2 + 2x, w(i)= 2i −1;

28.

u = x 2 − y2 − x, w(0)=1;

13.

v = 2(ch x sin y − x y), w(0)= 0;

29.

v = ey (y cos x − x sin x);

14.

u = 2sin x ch y − x, w(0)= 0;

30.

v = −

, x ≠ 0, y ≠ 0;

x 2 + y2

15.

31.

u = x 2 − y2 + 2x;

v = 2(2sh x sin y + x y), w(0)= 3;

16.

v = −2sin 2x sh 2y + y, w(0)= 2;

32.

v = 3x + 2xy, w(−1)= 2.

Задание №7

Найти контурные интегралы

1.	∫f (z)dz, где f (z)= (y +1)− x i
	AB
AB − отрезок прямой, соединяющий точки zA =1; zB = −i .
2.	∫f (z)dz, где f (z)= x 2 + i y2
	AB
AB − отрезок, соединяющий точки A(1 +i), B(2 + 3i).
3.	∫(1+i −2z	)dz, по линиям, соединяющим точки z1 = 0; z2 =1 + i .

а) по прямой; б) по параболе y = x 2 ; в) по ломаной; z1, z2 , z3 , где z3 =1.

160

∫

(z2 + z z)dz , где L − дуга окружности

0 ≤ ϕ ≤ π.

∫e

dz , где L − отрезок прямой y = −x , соединяющий точки

z1 = 0, z2 = π −i π.

∫z Im z2 dz , где L :

=1; −π ≤ arg z ≤ 0.

2 Re z dz , где L − прямая, соединяющая точки

∫e

z1 = 0, z2 =1 + i .

∫ln z dz (ln z − главное значение логарифма), где L :

а) начальная точка пути интегрирования z0 =1, б) z0 = −1.

Обход против часовой стрелки.

∫z Re z dz , где L :

=1. Обход против часовой стрелки.

∫z

dz , где L :

=1. Обход против часовой стрелки.

10.

11.

∫z ez dz по отрезку AB, соединяющему точки zA =1, zB = i .

12.

∫Re z dz , где L : а) z = (2 +i)t, 0 ≤ t ≤1;

б) ломаная, состоящая из отрезка [0;2] действительной оси и отрезка,

соединяющего точки z1 = 2; z2 = 2 + i .

13. ∫ez dz , где L: а) дуга параболы y = x 2 , соединяющая точки

z1 = 0; z2 =1 + i .

б) отрезок прямой, соединяющий те же точки.
14. ∫cos z dz , где L - отрезок прямой, соединяющий точки z1	=	π	;
L		2
z2 = π + i .

161

15.

∫

, где L - верхняя половина окружности

=1; выбирается та

1 = −1.

ветвь z , для которой

16.

∫

, где L − верхняя половина окружности

=1 выбирается та

z , для которой

1 =1.

ветвь функции

17.

∫

где L : z =1, Re z ≥ 0;

−i =

2 (1 −i).

18.

∫

, где L −верхняя половина окружности

=1; берется та

4 z3

ветвь функции 4 z3 , для которой 4 1 =1.

19.

∫

(z3

− z)e 2

dz ;

20. ∫z cos z dz ;

1+i

(z −i)e−z dz ;

21.

∫z sin z dz;

22. ∫

ln (z

+1)

dz по дуге окружности

=1, Im z

≥ 0, Re z ≥ 0 с уче-

23.

∫

z +1

том условий arg z = arctg y x = ϕ.

ln z

dz по отрезку прямой, соединяющей точки z1 =1, z2 = i .

24.

∫

1 + tg z

dz по прямой, соединяющей точки z1

=1 и z2 = i .

25.

∫

cos2

26.

cos z

dz по прямой, соединяющей точки z1

= −1 и z2 = i .

∫

sin z

−1

Выбираем ту ветвь функции w =

sin z , для которой

sin(−1) = i sin1

27.

∫Re (sin z)cos z dz , где

L :

Imz

≤1; Re z = π;

162

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx
#
07.05.2019478.21 Кб3УМП Интегралы.doc