УМК
.PDF3.2.28. Подобрав одно частное решение уравнения, найти общее решение
y ′′− y′ + y = 0 . x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. y = C1x + C2 x∫ |
e x dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C2 e−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3.2.29. |
Показать, |
что |
y = C1e3x |
является |
общим |
|
|
решением |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения y′′ − 9 y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3.2.30. |
Уравнению y′′ − y = 0 |
удовлетворяют |
|
два |
частных решения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = sh x, y2 |
= ch x . Составляют ли они фундаментальную систему? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3.2.31. |
|
|
Можно |
ли |
составить |
общее |
|
|
решение |
|
|
|
уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(x ≠ 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y ′′ |
+ |
|
|
y′ + 1 − |
|
|
|
y |
= 0 |
по |
двум |
|
его |
|
|
|
частным |
|
|
|
решениям |
|||||||||||||||||||||||||||
|
4x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′ = |
|
1 |
|
|
sin x, y2 |
= |
|
1 |
cos x ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3.2.32. Найти общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1). |
y''−y'−2y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Отв. y(x) = C1e−x + C2 e2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2). |
y''+16y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Отв. y(x) = C1 sin 4x + C2 cos 4x; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3). |
y''−y'= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. y(x) = C1 + C2 ex ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4). |
y'''−2y''+y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = C1e x |
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C2 e |
|
|
|
|
x + C3e |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5). y(4) −16 y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Отв. y(x) = C1e −2x |
+ C 2 e 2x |
+ C 3 cos 2x + C 4 sin 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6). |
y(4) |
+ 5 y''+4y = 0. |
|
|
|
Отв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = C1 sin x + C2 cos x + C3 sin 2x + C4 cos 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y(4) + 20 y''+25y = 0. |
Отв. y(x) = C1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7). |
3x + C2 sin 3x + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C3 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x + C4 sin |
|
9x |
||||||||||||||||||||||||
8). |
y(4) |
+ 2 y''+y = 0. |
|
|
|
|
|
|
Отв. y(x) = (C1 + C2 x)cos x + (C1 + C2 x)sin x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9). y′′ +10y′ + 25y = 0 |
|
|
|
Отв. y = (C1 x + C2 )e−5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
10). y′′ + y′ + y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
sin |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 cos |
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3.2.33. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины и удлиняют ее относительно ненагруженного состояния на a . Найти закон движения одного
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
груза, если второй сорвется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. x(t) = a cos |
|
|
|
|
a |
|
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.2.34. Найти общее решение y ′′+ 5y′ + 6y = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 + e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отв. y = C1 e−2x + C2 e−3x + |
e−2x |
(ln(1 + e2x )− e−2x |
+ e−3x arctg(e x )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2.35. Найти общее решение y′′ + 4y = ctg x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Отв. y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + |
x |
+ |
|
1 |
sin 2x + |
1 |
|
cos x − ln |
|
sin x |
|
− |
1 |
sin 2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.2.36. Найти общее решение 4y ′′+ y = |
4 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отв. y = C1 cos |
+ C2 sin |
+ 4 cos 2x ln |
cos |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.2.37. Найти общее решение y′′ − 6y′ + 9y = 2x 2 − x + 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Отв. y = (C1 + C2 x)e2x + |
2 |
|
x 2 + |
5 |
|
|
|
x + |
11 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.2.38. Найти общее решение y′′ − 3y + 2y = 3e2 x . |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. y = C1 e x |
|
+ C2 e2x |
+ 3x e2 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.2.39. Найти общее решение 2y′′ + 5y′ = e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e− |
5 |
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв. y = C1 + C2 |
|
|
|
|
|
e x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.2.40. Найти общее решение y ′′+ |
y′ + y = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Отв. y = C1 |
sin x |
+ C2 |
cos x |
+ |
sin x |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
tg |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.2.41. Найти решение |
уравнения |
y′′ + y = tg x , |
удовлетворяющее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
краевым условиям y(0) = y π |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
π |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Отв. y = |
|
|
|
ln 3sin x − cos x ln tg |
|
|
+ |
4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
3.2.42. Найти частное решение уравнения y′′ + y + sin 2x = 0 , удовлетворяющее начальным условиям y(π) = y′(π) = 1.
Отв. y = 1 sin 2x − 1 sin x − cos x . 3 3
3.2.43. Найти общее решение уравнения
1). |
y''+4y = 5e x . |
|
|
Отв. y = e x |
+ C1 cos 2x + C2 sin 2x |
|||||||||||||||||
|
x''−2x = te −t . |
|
|
Отв. x = (2 − t)e −t + C1 e − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2). |
|
|
|
2t + C 2 e t 2 . |
||||||||||||||||||
3). |
y''+ y'−2y = 4x 2 . |
|
|
Отв. y = C1 e−2x + C2 e x − 2x 2 − 2x − 3. |
||||||||||||||||||
4). |
y''−2 y'+y = xe x . |
|
|
Отв. y = e x (C1 + C 2 x + x 3 |
6). |
|
|
|
||||||||||||||
5). |
y'−2 y'+5y = 5e x sin 2x. |
|
Отв. y = e x (C1 sin 2x + C2 cos 2x − |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− xex (sin 2x + 2 cos 2x)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3.2.44. Решить задачу Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x'''+ x''= e-t , |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1). |
= -2, x'(0) = 0, x(0) |
= 1. |
Отв. x(t) =1 − t + te |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x''(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
4y' ''+ y'= 2 sin |
|
, |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|||||||||
2 |
|
|
Отв. y(x) = |
4 + cos |
− x sin |
|||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
y''(0) = - |
|
, y'(0) = 0, y(0) |
= |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ − y = 2 shx |
|
|
Отв. y = x chx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3). y(0) = 0, y′(0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.45. Определить закон движения материальной точки массы m , перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопротивление среды отсутствует, а
на точку действует внешняя сила F = A sin ωt . |
|
|
|
|
||
|
sin βt + |
A |
|
|
|
|
Отв. x = C1 cosβt + C2 |
sin ωt , если ω ≠ β = |
a |
||||
|
|
|||||
|
m |
|||||
|
a − mω2 |
|
|
|
x′ = 4y − 2x,
3.2.46. Найти общее решение системы уравнений: y′ = 3y − x.
Отв. x = C1e −t + C2 e2 t , y = 1 C1e−t + C2 e 2t . 4
3.2.53. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными
(однородными или неоднородными) и какие нелинейными:
а) U xx U xy − 3U yy − 6 x U y − xy U = 0 ;
б) |
∂ |
(y U y + U 2y )− 2 U x U xy + U x − 6 U = 0 . |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
а) нелинейное уравнение; |
б) линейное однородное. |
|||||||
3.2.54. Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
∂ U |
= x ; |
б) |
∂2 U |
= 2y ; |
в) |
∂2 U |
= 1. |
|
|||
∂ y |
∂ y 2 |
∂ y ∂ x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответы: а) |
U(x, y) = |
x 2 |
+ ϕ(y 2 ) ; |
б) U(x, y) = |
y3 |
+ y ϕ(x) + ψ (x) ; |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
||
в) |
U(x, y) = ∫ ϕ(y) dy + ψ(x) + xy , где ϕ и ψ − произвольные функции. |
3.2.55. Проверить, что функция
а) U(x, y) = x ϕ(x + y) + y ψ(x + y), где ϕ и ψ − произвольные дважды дифференцируемые функции, является общим решением уравнения
∂2 U |
− 2 |
∂2 U |
+ |
∂2 U |
= 0 ; |
|
∂x 2 |
∂x ∂y |
∂y2 |
||||
|
|
|
б) U(x, y) = ϕ(x + ay) + ψ(x − ay) является общим решением уравнения
∂2 U − a 2 ∂2 U = 0 ; |
|
∂y2 |
∂x 2 |
в) U(x, y) = ϕ(2x − t)+ ψ(2x + t)− общее решение уравнения
2x |
∂2 U |
+ |
∂U |
− |
∂2 U |
= 0 . |
|
∂x 2 |
∂x |
∂y2 |
|||||
|
|
|
|
В задачах 3.2.56 – 3.2.58 определить тип уравнений и привести их к каноническому виду
3.2.56. x 2 U xx − y U yy = 0.
Ответ: U ηη = 0; ξ = y , η = y . x
3.2.57. U xx |
+ 2 U x y − 3 U y y + 2U x |
+ 6U y |
= 0 . |
||
|
Ответ: U ξ η |
+ |
1 |
U ξ |
= 0; ξ = x + y, η = 3x − y . |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
3.2.58. U xx |
− 2U xy + 2U yy = 0 . |
|
|
|
|
|
Ответ: |
U ηη + U ξ ξ = 0; ξ = x + y; η = x . |
3.2.59. Упругий прямолинейный стержень длины l выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент времени t = 0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что поперечные сечения стержня все время остаются плоскими, поставить задачу для определения продольных колебаний сечений стержня при t > 0 . Рассмотреть случаи:
а) концы стержня закреплены жестко;
б) концы движутся в продольном направлении по заданному закону;
в) к концам приложены заданные силы;
г) концы свободны;
д) концы закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со стороны заделки действия продольной силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно смещению. Сделать математическую подстановку задачи.
Ответы:
а) |
Utt (x, t) = a2 Uxx (x, t) , 0 < x < l , t > 0 |
||
|
a2 = E ρ, E - модуль упругости, |
ρ - плотность стержня |
|
|
U(x,0) = ϕ(x) , |
U t (x,0) = ψ(x) , |
0 < x < l |
|
U(0, t) = U(l, t) = 0, t > 0 ; |
|
|
б) |
U tt (x, t) = a 2 U xx (x, t) . |
|
|
|
U(x,0) = ϕ(x) , |
Ut (x,0) = ψ(x) , |
0 < x < l |
|
U(0, t) = µ1 (t) , |
U(l, t) = µ2 (t) , t > 0 ; |
|
|
где µ1 (t) и µ2 (t) - заданные функции; |
||
в) |
Utt (x, t) = a 2 Uxx (x, t) . |
|
|
|
U(x,0) = ϕ(x) , |
Ut (x,0) = ψ(x) , |
0 < x < l |