- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава XIV ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
- •Раздел I
- •Виды случайных событий
- •Классическое определение вероятности
- •Основные формулы комбинаторики
- •Статистическое определение вероятности
- •Непосредственное вычисление вероятностей
- •§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •§ 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •§ 4. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •§ 5. Формула полной вероятности
- •§ 6. Формула Бейеса
- •§ 7. Схема Бернулли
- •Раздел II
- •§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Примеры решения задач
- •§ 3. Примеры распределения случайных величин
- •3.1 Биномиальное распределение
- •3.2 Распределение Пуассона
- •3.3 Нормальное распределение
- •3.4. Равномерное распределение
- •3.5 Показательное (экспоненциальное) распределение
- •§ 4. Система случайных величин
- •§ 5. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •§ 6. Закон больших чисел. Теорема Чебышева
- •§ 7. Центральная предельная теорема Ляпунова
- •Глава XV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Выборочный метод
- •2.1 Генеральная и выборочная совокупности
- •2.2 Статистическое распределение выборки
- •2.3 Эмпирическая функция распределения
- •2.4 Полигон и гистограмма
- •2.5 Оценки математического ожидания
- •2.6 Оценки дисперсии
- •§ 3. О статистической проверке гипотез
- •ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
- •КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
|
|
|
|
|
20 |
Решение. |
|
|
|
|
|
P (2, 8) = P (2) + P (3) +... + P (8) = 45 +120 + 210 + 252 + 210 +120 + 45 |
≈ 0,98 |
||||
10 |
10 |
10 |
10 |
1024 |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что при больших значениях n в схеме Бернулли использовать формулу (1) весьма затруднительно (сложно вычислить Cnk ). Обычно в этих случаях используют следующие теоремы:
Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).
При больших значениях n в схеме Бернулли справедливо приближенное равенство:
|
|
|
|
P (k) ≈ |
1 |
ϕ(x) , |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
x = |
k − np |
, |
ϕ(x) = |
1 |
e−x 2 2 . |
|
|
npq |
2π |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа).
При больших значениях n в схеме Бернулли имеет место приближенное равенство:
Pn (k1, k2 ) ≈Ф(k2′) −Ф(k1′) ,
|
k1′ = |
k − np |
, k2′ = |
k |
|
− np |
|
|
1 |
x |
−x 2 2 |
|
где |
1 |
|
2 |
npq |
, |
Ф(x) = |
|
e |
|
dx . |
||
|
|
|
||||||||||
|
|
npq |
|
|
|
|
|
2π ∫0 |
|
|
Раздел II
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения
Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятности.
Определение. Случайной величиной называется величина, которая в
результате испытания принимает то или иное значение. При этом заранее неизвестно, какое именно значение случайная величина примет в результате опыта.
Изучая случайную величину, прежде всего интересуются множеством ее возможных значений. Это может быть конечное множество чисел или
21
множество чисел, не имеющее предельной точки (например, множество Ζ )
Такие случайные величины называются дискретными.
Возможно, что множество значений случайной величины содержит целый отрезок числовой оси. Такие случайные величины называются непре-
рывными.
Пример 1.
Случайная величина X – количество очков, выпавшее при бросании игральной кости.
{1, 2, ..., 6 }– множество значений.
Пример 2.
Случайная величина X – угол между начальным направлением и направлением остановившейся стрелки рулетки.
[0; 2π ] – множество значений.
Определение. Распределением (законом распределения) дискретной
случайной величины называется функция, сопоставляющая каждому воз-
можному значению xk случайной величины ее вероятность pk ( 0 ≤ pk ≤1), причем ∑pk =1.
k
Распределение дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений удобно задавать таблицей.
Пример 3.
Закон распределения из примера 1 имеет вид:
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 6 |
1 6 |
1 6 |
1 6 |
1 6 |
1 6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную
величину, указывая возможные значения и вероятности, с которыми эти зна-
чения появляются в результате испытаний.
Перейдем к обсуждению понятия распределения непрерывной случай-
ной величины. Рассматривают два вида распределений непрерывной случай-
ной величины: интегральное и дифференциальное, их также называют интегральной и дифференциальной функциями распределения, интегральным и дифференциальным законами распределения.
Определение. Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция переменной t , выражающая ве-
22
роятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее, чем число t , т.е.
F(t) = P( X < t) .
Свойство 1. |
0 ≤ F(t) ≤1. |
Доказательство следует из определения функции распределения как вероят-
ности.
Свойство 2.
F(t) – неубывающая функция, т.е. из t1 < t2 F(t1 ) ≤ F(t2 ) .
Доказательство.
Событие ( X < t2 ) можно подразделить на два несовместных события
( X < t1 ) и (t1 ≤ X < t2 ) . По теореме сложения вероятностей имеем: |
|
P( X < t2 ) = P( X < t1 ) + P(t1 ≤ X < t2 ) . |
|
Отсюда |
|
P(t1 ≤ X < t2 ) = P( X < t2 ) − P( X < t1 ) = F(t2 ) − F(t1 ) . |
(1) |
Вероятность любого события неотрицательна, следовательно F(t2 ) ≥ F(t1 ) .
Свойство 3. P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) .
Доказательство.
В формуле (1) при t1 = a , t2 = b имеем
P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) .
Следствие. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет определенное значение, равна 0.
Доказательство.
Свойство3
P(t0 ≤ X < t0 + t) = F(t0 + t) − F(t0 ) .
Пусть t → 0 . Т.к. X – непрерывная случайная величина, то функция F(t) – непрерывна. Отсюда P( X = t0 ) = F(t0 ) − F(t0 ) = 0 .
Замечание 1. Из доказанного следствия имеем
P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) .
Замечание 2. Было бы неправильно думать, что P( X = t0 ) = 0 означает, что событие X = t0 невозможно.
Свойство 4. Если возможные значения случайной величины принадлежит интервалу (a ; b) , то:
|
|
|
|
23 |
||
1) |
F(t) = 0 |
при |
t ≤ a ; |
|
|
|
2) |
F(t) =1 |
при |
t ≥ b . |
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
Пусть t1 ≤ a , тогда событие X < t1 |
– невозможно и P( X < t1 ) = F(t1 ) = 0 . |
|||||
Пусть t2 ≥ b , тогда событие X < t2 |
– достоверно и P( X < t2 ) = F(t2 ) =1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины X расположены на всей числовой оси (−∞; + ∞) , то справедливы следующие
предельные соотношения:
lim F (t) = 0 и lim F(t) =1. |
|
t →−∞ |
t →+∞ |
Определение. Пусть X |
– непрерывная случайная величина и F(t) – |
ее интегральная функция распределения. Пусть, кроме того F(t) – дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек.
Производная F′(t) интегральной функции распределения называется
дифференциальной функцией (дифференциальным законом) распределения
непрерывной случайной величины X .
Свойство 1. Дифференциальная функция распределения – неотрицательная функция:
f (t) ≥ 0 .
Доказательство.
Интегральная функция распределения F(t) – неубывающая, следова-
тельно, f (t) = F ′(t) ≥ 0 .
|
t |
|
|
Свойство 2. |
F(t) = ∫ f (x) dx . |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
b |
|
|
Свойство 3. |
P(a < X < b) = ∫ f (t) dt . |
|
|
Доказательство. |
a |
|
|
b |
b |
|
|
|
|
||
P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) = ∫F′(t) dt = ∫ f (t) dt . |
|
||
|
|||
|
a |
a |
|
|
|
||
|
+∞ |
|
|
Следствие. |
∫ f (t) dt =1 |
|
|
−∞