- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава XIV ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
- •Раздел I
- •Виды случайных событий
- •Классическое определение вероятности
- •Основные формулы комбинаторики
- •Статистическое определение вероятности
- •Непосредственное вычисление вероятностей
- •§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •§ 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •§ 4. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •§ 5. Формула полной вероятности
- •§ 6. Формула Бейеса
- •§ 7. Схема Бернулли
- •Раздел II
- •§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Примеры решения задач
- •§ 3. Примеры распределения случайных величин
- •3.1 Биномиальное распределение
- •3.2 Распределение Пуассона
- •3.3 Нормальное распределение
- •3.4. Равномерное распределение
- •3.5 Показательное (экспоненциальное) распределение
- •§ 4. Система случайных величин
- •§ 5. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •§ 6. Закон больших чисел. Теорема Чебышева
- •§ 7. Центральная предельная теорема Ляпунова
- •Глава XV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Выборочный метод
- •2.1 Генеральная и выборочная совокупности
- •2.2 Статистическое распределение выборки
- •2.3 Эмпирическая функция распределения
- •2.4 Полигон и гистограмма
- •2.5 Оценки математического ожидания
- •2.6 Оценки дисперсии
- •§ 3. О статистической проверке гипотез
- •ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
- •КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
60
сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
2. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 < x2 . Известны вероятность p1 возможного значения
x1 , математическое ожидание M ( X ) и дисперсия D( X ) . Найти закон распределения этой случайной величины.
p1 = 0,9 ; |
M ( X ) = 3,1; D( X ) = 0,09 . |
3. Случайная величина X |
задана функцией распределения F(x) . Найти |
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
0, |
x ≤ 2; |
|
|
F(x) = x / 2 −1, 2 < x ≤ 4; |
|
|
x > 4. |
1, |
4. Известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X . Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α ; β).
a = 6 ; σ = 3 ; α = 2 ; β =11.
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x = 75,13; n =100 , σ =10 .
Вариант 6
1. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.
2. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 < x2 . Известны вероятность p1 возможного значения
x1 , математическое ожидание M ( X ) и дисперсия D( X ) . Найти закон рас-
пределения этой случайной величины.
p1 = 0,9 ; M ( X ) = 2,2 ; D( X ) = 0,36 .
61
3. Случайная величина X задана функцией распределения F(x) . Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
0, |
x ≤ 0; |
|
|
2 / 9, 0 < x ≤ 3; |
|
F(x) = x |
||
|
|
x > 3. |
1, |
|
4. Известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X . Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α ; β).
a = 5 ; σ =1; α =1; β =12 .
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x = 75,12 ; n =121, σ =11.
Вариант 7
1. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся
2. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 < x2 . Известны вероятность p1 возможного значения
x1 , математическое ожидание M ( X ) и дисперсия D( X ) . Найти закон распределения этой случайной величины.
p1 = 0,8; |
M ( X ) = 3,2 ; D( X ) = 0,16 . |
3. Случайная величина X |
задана функцией распределения F(x) . Найти |
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
0, |
x ≤ 0; |
|
|
2 / 4, 1 < x ≤ 2; |
|
F(x) = x |
||
|
|
x > 2. |
1, |
|
4. Известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X . Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α ; β).
a = 4 ; σ = 5 ; α = 2 ; β =11.
62
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x = 75,11; n =144 , σ =12 .
Вариант 8
1. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.
2. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 < x2 . Известны вероятность p1 возможного значения
x1 , математическое ожидание M ( X ) и дисперсия D( X ) . Найти закон распределения этой случайной величины.
p1 = 0,6 ; |
M ( X ) = 3,4 ; D( X ) = 0,24 . |
3. Случайная величина X |
задана функцией распределения F(x) . Найти |
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
0, |
x ≤ −π / 2; |
|
|
F(x) = cos x, −π / 2 < x ≤ 0; |
|
|
x > 0. |
1, |
4. Известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X . Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α ; β).
a = 3 ; σ = 2 ; α = 3 ; β =10 .
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x = 75,10 ; n =169 , σ =13 .
Вариант 9
1. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливают 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 –
63
если на втором станке 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
2. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 < x2 . Известны вероятность p1 возможного значения
x1 , математическое ожидание M ( X ) и дисперсия D( X ) . Найти закон распределения этой случайной величины.
p1 = 0,4 ; |
M ( X ) = 3,6 ; D( X ) = 0,24 . |
3. Случайная величина X |
задана функцией распределения F(x) . Найти |
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
0, |
x ≤ 0; |
|
|
F(x) = 2 sin x, 1 < x ≤ π / 6; |
|
|
x > π / 6. |
1, |
4. Известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X . Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α ; β).
a = 2 ; σ = 5 ; α = 4 ; β = 9 .
5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ .
x = 75,09 ; n =196 , σ =14 .
Вариант 10
1. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.
2. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причем x1 < x2 . Известны вероятность p1 возможного значения
x1 , математическое ожидание M ( X ) и дисперсия D( X ) . Найти закон рас-
пределения этой случайной величины.
p1 = 0,2 ; M ( X ) = 3,8; D( X ) = 0,16 .