Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 586 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	18
или, короче
A X B .	(3)

Равенство (3) называется матричным уравнением.

Если система (2) записана в форме матричного уравнения (3) и матрица A системы невырожденная, то это уравнение решается следующим образом:

A 1 A X A 1 B .

Используя сочетательный закон умножения матриц, можно написать

A 1 A X A 1 B .

Но т.к. A 1 A E и E X X , то получим решение матричного уравнения

(3) в виде		X A 1
		X A 1		B .	(4)
Пример 1. Решить систему уравнений
	x	2x			10,
	1		2	x3	23,
	3x1	2x2		x3	23,
		x2 2x3			13.
		x2 2x3			13.

Решение. Запишем данную систему уравнений в матричном виде:

1		2	0	x	10
	3 2		1	1
	3 2		1	x2	23 .
	0	1	2		13
	0	1	2	x3	13

Обратную матрицу к матрице системы мы нашли в примере 1 § 3. Тогда

	1 3		4 9	2 9	10	4
X A 1		2 3 2 9		1 9		3
X A 1	B	2 3 2 9		1 9	23	3	.
		1 3	1 9	4 9		5
Ответ: 4; 3; 5 .		1 3	1 9	4 9	13	5
Ответ: 4; 3; 5 .

4.2 Метод Крамера

Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными

a11 x1 a12a21 x1 a22a31 x1 a32

x2 a13 x3

x2 a23 x3

x2 a33 x3

b1,

b2 , (5)

b3.

Введем обозначения:

a11	a12	a13			b1	a12	a13
a11	a12	a13			b1	a12	a13
a21	a22	a23	,	x1	b2	a22	a23	,
a31	a32	a33			b3	a32	a33

	a11	b1	a13		a11	a12	b1
	a11	b1	a13		a11	a12	b1
x2	a21	b2	a23	x3	a21	a22	b2	.
	a31	b3	a33		a31	a32	b3

Теорема. 1. Если матрица системы линейных алгебраических уравнений (5) невырожденная, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

x	x1	,	x	2	x2	,	x	3	x3	.

1

2.Если 0 , а x1 0 , или x2 0 , или x3 0 , то система (5) не имеет решений.

3.Если x1 x2 x3 0 , то система (5) может иметь бесконечное множество решений или не иметь их вовсе.

Доказательство. Умножим почленно первое уравнение системы (5) на A11 , второе – на A21 и третье – на A31 . Получим равносильную систему:

A	a		x	A	a		x	2		A	a		x		3		A	b		,
11	11		1	11	12			2		11	13				3		11		1
A21 a21 x1 A21 a22 x2 A21 a23 x3 A21 b2 ,
A	a	31	x	A	a	32	x		2	A	a	33		x		3	A		b .
31		31	1	31		32			2	31		33				3	31			3

Сложим все эти три уравнения:

A11 a11 A21 a21 A31 a31 x1 A11 a12 A21 a22 A31 a32 x2

A11 a13 A21 a23 A31 a33 x3 A11 b1 A21 b2 A31 b3 .

После упрощения имеем

x1 x1 .

Аналогично выводятся равенства

x2 x2

и x3 x3 .

Отсюда, если 0 , имеем единственное решение системы (5)

Если, например, 0 , а x2

0 , то второе уравнение примет вид

0 x2 0 ,

следовательно, в этом случае система решений не имеет.

Если x1 x2 x3 0 , то система может иметь бесконечное множество решений или не иметь их вовсе (это примем без доказательства).

Пример 2.					Решить систему уравнений методом Крамера
Пример 2.					Решить систему уравнений методом Крамера
										x 2 y z		2,
										2x 3y 2z		2,
										2x 3y 2z		2,
										3x	y z	8.
										3x	y z	8.
Решение.
	1					2	1
	1					2	1
	2				3		2		3 12 2 9 2 4 8 ,
	3					1	1
x			2			2	1
			2			2	1
			2			3	2		6 32 2 24 4 4 8,
			8			1	1
y				1		2	1	2 12 16 6 16 4 16 ,
				1		2	1
				2 2			2
				3		8	1
z		1				2	2
		1				2	2
		2				3	2	24 12 4 18 2 32 24 .
		3				1	8
Тогда
x x						8	1,		y y		16 2 ,		z z	24	3.
						8					8			8

Ответ: 1; 2; 3 .

4.3 Метод Гаусса

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений

a11 x1 a12 x2 ...											a1n xn b1,
a	21	x	a	22		x		2	...		a	2n		x		n	b		,
	21	1		22				2				2n				n		2		(6)
																			,	(6)
..........		..........				..........				..........			..........					.....	,
a	m1	x	a		m	2	x		2	...	a		mn		x		n	b .
	m1	1			m	2			2				mn				n		m

Допустим, что в системе (6) коэффициент a11 0 . Тогда поделим обе части первого уравнения системы на a11 . Получим систему, равносильную данной:

	x	a12 x		...	a1n x			b1	,
			2			n
	1	a11			a11			a11

	x1	a22 x2			a2n xn b2 ,				(7)
a21
..........	..........	..........		..........	..........		.....,
	x1 am2 x2				amn xn bm .
am1

Исключим теперь с помощью элементарных преобразований неизвестную x1 из всех уравнений системы (7), кроме первого. Получим

a12

... a1n

a11

(8)

a22

... a2n

b2 ,

..................................................,

am2

... amn xn

bm .

Здесь введены обозначения:

a12

a13

a1n

a22

a22 a21 a

a23

a23 a21 a

…, a2n a2n

a21 a

a12

a13

a1n

am2

am2 am1 a

, am3 am3 am1 a

…, amn amn

am1 a

bm am1

, …,

b2 b2 a21 a

b3 b3 a31 a

Разделим теперь второе уравнение системы (8) на коэффициент a22 , предполагая, что a22 0 . Затем исключим неизвестную x2 из всех уравнений полученной системы, кроме первого и второго, и т.д.

Если, продолжая этот процесс, мы придем к системе, содержащей уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то эта система несовместна. В том случае, когда система совместна, придем либо к системе

~	x2	~	x3	~	~
x1 a12	x2	a13	x3	... a1n xn b1,
		~	x3	~	~
	x2 a23		x3	a2n xn b2 ,			(9)
						,	(9)
....................		..........	..........	..........~ ....	......~	,
			xp	..........~ ....	......~
			xp	apn xn bp .

							22
причем p n , либо к системе
~	x2	~	x3	~	~
x1 a12	x2	a13	x3	a1n xn b1,
		~	x3	~	~	,
	x2 a23		x3	a2n xn b2		,	(10)
						,	(10)
....................		..........	..........	..........	..........~.	,
					..........~.
					xn bn .
					xn bn .

Система вида (9) называется ступенчатой, а вида (10) – треугольной. Приведение матрицы к ступенчатому или треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.

~В	случае	треугольной системы	из последнего уравнения находим
xn bn ,	затем,	подставляя значение xn	в предыдущее уравнение, находим

xn 1 и т.д.

Таким образом, если данная система уравнений (6) после выполнения ряда элементарных преобразований приводится к треугольной системе (10), то это означает, что система (6) является совместной и определенной.

Если же данная система (6) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (9), то система (6) совместна и неопределенна.

В самом деле, перенося в каждом из уравнений системы (9) члены с неизвестными xp 1 , …, xn в правую часть, получим систему

~	x2	~	~	~	xp 1		~
x1 a12	x2	... a1 p xp b1		a1 p 1	xp 1		a1n xn ,
	x2	~	~	~	xp 1		~	,
	x2	a2 p xp b2		a2 p 1	xp 1		a2n xn	,	(11)
							,		(11)
....................	..........	..........	..........~	..........~ ..........		..........	,
			..........~	..........~ ..........	xp 1		~
			xp bp	a p p 1	xp 1		a pn xn .

Придавая неизвестным xp 1 , …, xn , которые называются свободными, произвольные значения p 1 , …, n , получим треугольную систему, из которой последовательно найдем все остальные неизвестные xp , xp 1 , …, x1 . Т.к. числа p 1 , …, n могут иметь различные значения, то исходная система (6) имеет в этом случае бесконечное множество решений.

Пример 3. Решить систему уравнений
x	x	2	x	3	x	4	1,
1		2		3		4
x1 x2 x3							2,
	x2 x3						0.
	x2 x3						0.

Решение. Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем

2x3 x4

1, или

x3 0,5x4

0,5.

В результате этих преобразований получим систему

x		x	2	x	3	x	4	1,
	1		2		3		4
		x2 x3						0,
				x3		0,5x4		0,5.
				x3		0,5x4		0,5.

Эта система ступенчатого вида равносильна данной. Считая x4 произвольным, последовательно находим

x3 0,5 0,5x4 ,

x2 x3 0,5 0,5x4 ,

x1 1 x4 .

Следовательно, любой упорядоченный набор из четырех чисел вида (1 t ; 0,5 0,5t ; 0,5 0,5t ; t ) , где t R , является решением данной системы

уравнений, и других решений система не имеет.

Ответ: (1 t ; 0,5 0,5t ; 0,5 0,5t ; t ),								где	t R .
Пример 4. Решить систему уравнений
	x	x	2		x	3		x	4	1,
	1		2			3			4
	x1 2x2 3x3 x4									2,
	3x	5x		2	5x		3	3x	4	6.
	1			2			3		4

Решение. Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем уравнение x2 4x3 1. Далее, вычитая из третьего уравнения системы первое, ум-

ноженное на 3, получаем
2x2 8x3	3 , или	x2 4x3	1,5.

В результате этих преобразований получаем систему

x		x	2	x	3	x	4
	1		2		3		4
		x2		4x3
		x2		4x3
		x2		4x3

1,5,

которая равносильна данной.

Далее, вычитая из последнего уравнения полученной системы второе уравнение, получаем уравнение

0 0,5 ,

которое, очевидно, не имеет решений.

Следовательно, данная система уравнений не имеет решений. Ответ: система решений не имеет.

Пример 5. Решить систему уравнений

2x		x	2		x	3	1,
1			2			3
3x1 2x2 2x3 1,
x	x			2	2x	3	5.
1				2		3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 586 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20182.4 Mб4LR_4.docx
#
23.08.2019283.11 Кб5LVDS.docx
#
17.03.2015417.95 Кб10lкодекс корпоративного поведени башнефть.pdf
#
17.03.20151.74 Mб433M-300-C_RUS.pdf
#
05.08.20195.94 Mб4matem.docx
#
17.03.20153.09 Mб51Matematika_1.pdf
#
04.12.2018318.46 Кб6material 2.doc
#
17.03.201523.58 Кб15materialka.docx
#
06.03.201618.45 Кб21materialoved.docx
#
07.12.2018243.71 Кб6Materialovedenie.doc
#
17.03.20153.56 Mб43Mathematics.Part 1.pdf

a11	a12	a13			b1	a12	a13
a11	a12	a13			b1	a12	a13
a21	a22	a23	,	x1	b2	a22	a23	,
a31	a32	a33			b3	a32	a33

	a11	b1	a13		a11	a12	b1
	a11	b1	a13		a11	a12	b1
x2	a21	b2	a23	x3	a21	a22	b2	.
	a31	b3	a33		a31	a32	b3

a11	a12	a13			b1	a12	a13
a11	a12	a13			b1	a12	a13
a21	a22	a23	,	x1	b2	a22	a23	,
a31	a32	a33			b3	a32	a33

	a11	b1	a13		a11	a12	b1
	a11	b1	a13		a11	a12	b1
x2	a21	b2	a23	x3	a21	a22	b2	.
	a31	b3	a33		a31	a32	b3

a11	a12	a13			b1	a12	a13
a11	a12	a13			b1	a12	a13
a21	a22	a23	,	x1	b2	a22	a23	,
a31	a32	a33			b3	a32	a33

	a11	b1	a13		a11	a12	b1
	a11	b1	a13		a11	a12	b1
x2	a21	b2	a23	x3	a21	a22	b2	.
	a31	b3	a33		a31	a32	b3