204
Вариант 8
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A( 8; 4) , |
B(4; 1) , C(7; 3) треугольника. Требуется |
найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 3x y 7 0 и координаты вершины
C(3; 2) прямого угла.
3. |
Определить расстояние от точки M (2; 1) до прямой, |
отсекающей на |
|
осях координат отрезки a 8 , b 6 . |
|
||
4. |
Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от пря- |
||
мой x 6 |
0 и от начала координат. Сделать чертеж. |
|
|
5. |
Точка |
P делит отрезок между фокусами гиперболы |
9x2 16 y2 144 , |
имеющей начало в фокусе с отрицательной абсциссой, в отношении 1: 4 . Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки P на асимптоты гиперболы. Сделать чертеж.
6. Дано уравнение параболы |
y2 6x 8 y 22 0 . |
Сделать параллельный |
|
перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне- |
|||
ние параболы приняло вид x2 |
ay или |
y2 ax . |
Построить обе системы |
координат и параболу. |
|
|
|
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
2x 4 y z 11 0,
2x 3y z 4 0,3x 3y z 0,
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
205 8. Даны векторы a {1; 4; 3}, b {6; 8; 5}, c {3; 1; 4}, d {21; 18; 33} в не-
котором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (6;1;1) , A2 (4;6; 6) , A3 (4; 2; 0) , A4 (1; 2;6) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
x4 |
3x 2 |
|
|
; |
б) |
lim |
x2 6x |
5 |
; |
|||
|
4 3x 1 |
2x2 11x 5 |
||||||||||||
|
x 6x |
|
|
x 5 |
|
|||||||||
в) |
lim |
|
4x 3 3 |
; |
|
г) |
lim |
x tg3x |
; |
|
|
|||
|
x2 9 |
|
|
1 cos 6x |
|
|
||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|||||
д) |
lim 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
cos x, |
x ; |
|
|
|
|
||||
y 1, |
x 0; |
|
|
|
|||||
|
x 1, |
x 0. |
|
|
|
|
|||
3. Найти производные |
dy |
: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
б) y |
1 sin 4x |
1 sin 4x ; |
||
а) |
y |
|
|
|
; |
|
|||
3 |
|
|
|||||||
|
|
4x |
|
|
|
|
|
||
в) |
y ln e2 x e 2 x ; |
г) |
y x arccos |
1 |
; |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
д) |
e y ax2e y 2bx . |
|
|
|
|
206
4. Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
dx |
dx2 |
||||
|
|
|
x 2t 2 4t 4 ,y 2t3 .
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
|
а) |
y xsin x |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
7 |
(x3 |
10) |
3 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 3)2 |
3 (x2 |
9)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
lim ln(x 1) ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
p |
|
|
|
q |
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 1 |
ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
1 x p |
|
1 xq |
|
||||||||
7. |
На линии |
y x2 |
3x 8 |
найти точку, в которой касательная к этой ли- |
|||||||||||||||||||
нии перпендикулярна прямой |
x 4 y 13 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
||||||||||||||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
y 2x3 |
6x2 |
18x 15 ; |
|
|
|
б) |
y ln(x2 |
9) . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) |
y |
x2 x 3 , |
x 1,97 ; |
|
|
|
б) |
y x7 , |
x 1,996 . |
|
||||||||||||
10. |
Найти частные производные дz |
, дz |
функции z z(x; y) : |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дx |
|
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
z x2 y xy2 ; |
|
|
|
|
|
б) |
z arccos(xy) . |
|
|
|
|||||||||||
11. а) Найти производную сложной функции |
z f ( (t); (t)) : |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x; y) y arctg (xy) , |
|
(t) |
t , |
|
(t) et . |
|
|
|
||||||||||
|
б) |
Найти частные производные |
|
дz |
, |
дz |
сложной функции |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
дu |
дv |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
z f |
(u; v); (u; v) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f (x; y) x2e y , |
|
(u; v) u v , |
(u;v) u2 v . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12.Дана функция z x2 y2 5x 4 y и две точки A( 3; 2) и B(3,05; 1,98) . Требуется: