19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций

ет одинаковые значения на концах отрезка, то существует по крайней мере

одна точка c a; b такая, что f

(c) 0.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

для любого x a; b ;

1)

f (x) const f (a) f (b)

f (x) 0

2)

f (x) const , тогда по свойству непрерывных функций f (x) достигает

Ферма, f (c) 0.

Геометрический смысл

y

Если функция f (x) дифференци-

руема и на концах отрезка принимает

y f (x)

одинаковые значения, то найдется хотя

бы одна точка, где касательная парал-

лельна оси Ox – геометрическое истол-

кование теоремы Ролля (рис. 3.23).

a

c

O

b x

Рис. 3.23

Теорема Лагранжа. Пусть функция

f (x)

непрерывна

на отрезке

f (b) f

(a)

f (c) .

b a

Доказательство.

f (b) f (a)

Рассмотрим функцию F(x) f (x)

x f (x) x , кото-

F(a) f (a)

f (b) f (a)

a

f (a) (b a) f (b) a f (a) a

b a

b a

f (a) b f (a) a f (b) a f (a) a

f (a) b f (b) a

.

b a

b a

111

Теорема 1 (необходимое условие монотонности функции на отрез-

ке).

Пусть функция

f (x)

непрерывна на отрезке a; b и дифференцируема

на интервале a; b . Тогда:

монотонно возрастает на интервале a; b , то

1)

если функция

f (x)

a; b

;

f (x) 0 на

монотонно убывает на интервале a; b , то

2)

если функция

f (x)

0 на

a; b

.

f (x)

Доказательство.

Пусть функция f (x)

монотонно возрастает на интервале

a; b . Тогда

для любых значений x1

и x2

из интервала

a; b

имеем:

x1 x2

f (x1) f (x2 ) .

Возьмем произвольную точку x1 a ; b ,

придадим аргументу x

при-

ращение

x так, что

x1 x a; b , функция

f (x) получит приращение

f :

f (x1) lim

f

lim

f (x1 x) f (x1)

.

x

x 0

x 0

x

Отсюда получаем:

1)

если x 0 , то x1

x x2 x1

f (x1

x) f (x1)

f

0

f

0 f (x1) 0 ;

x

2)

если x 0 , то x1

x x2 x1

f (x1

x) f (x1)

f

0

f 0 f (x1) 0 .

x

0 на интервале a; b .

Таким образом,

f (x)

Доказательство п. 2)

проводится аналогично.

Теорема 2 (достаточное условие монотонности функции на отрез-

ке).

Пусть функция

f (x)

непрерывна на отрезке a; b и дифференцируема

на интервале a; b .

Тогда,

если для

любой

точки x интервала

a; b

f (x)

– возрастающая на интервале

a; b

и если

f (x) 0 , то функция

, то f (x) – убывающая на интервале a; b функция.

f (x) 0

Доказательство.

Т.к. функция f (x) непрерывна на отрезке a; b

и диф-

ференцируема на интервале a; b , то выполняются теоремы Ферма,

Ролля и

Лагранжа, существует точка x c , причем

a x1 c x2 b :

f (x2 ) f (x1)

f (c)

f (x2 )

f (x1) f (c) (x2 x1) .

x2 x1

1)

Если для любого x a; b

f

(x) 0

f (c) 0 f (x2 ) f (x1) 0 ,

2)

следовательно, функция f (x)

f

возрастает на интервале a; b .

Если для любого x a; b

(x) 0

f (c) 0 f (x2 ) f (x1) 0 ,

следовательно, функция

f (x)

убывает на интервале a; b .

112

Теорема 3. Для того,

чтобы функция f (x) , непрерывная на отрезке

a; b и дифференцируемая

на интервале a; b , была постоянной функци-

Доказательство. 1) Необходимость.

Пусть f (x) const

для любого x a; b . Тогда для любого x a; b

f

(x) (const) 0 .

2) Достаточность.

Пусть для любого x a; b выполняется f (x) 0 .

Выберем два любых x1, x2 a; b : x1

x2 . Тогда по теореме Лагранжа

существует x c , где a x1 c x2

b :

f (x2 )

f (x1)

f (c)

f (x2 ) f (x1) f (c) (x2 x1)

x2 x1

f

f (x2 ) f (x1) 0

(x) 0 по предположению, следовательно,

f (x2 ) f (x1)

f (x) – постоянная функция на a; b .

ма). Пусть функция f (x) дважды дифференцируема, причем f (x) и

f (x)

– непрерывные функции. Тогда:

1) если

f (x0 ) 0

и

f (x0 ) 0

x0

– точка максимума функции

f (x) ;

2) если

f (x0 ) 0

и

f (x0 ) 0

x0

– точка минимума функции f (x) .

Доказательство.

f (x0 ) 0. В

1) Пусть

f (x0 ) 0

и

силу своей непрерывности функция

в некоторой окрестности точки

x0 . Тогда по теореме 2 функция

f (x) 0

f (x) убывает в этой окрестности. Поскольку f (x0 ) 0 , то функция

f (x)

f

в некоторой окрестности точки x0 . Тогда по теореме 2 функция

(x) 0

f

(x) возрастает в этой окрестности. Поскольку

f (x0 ) 0 , то функция f (x)