Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5108 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Matematika_1.pdf
Скачиваний:
55
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
3.09 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

38

Найдем a b :

 

a ax i ay j az k ,

b bx i by j bz k ,

a

b

a i

a

j a k

b i b

j b k a b i

i

 

свойство3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

 

x

y

z

 

x x

 

 

ay bx j i az bx k i ax by i j ay by j j az by k j ax bz i k ay bz j k az bz k k ay bx ( k ) az bx j

ax by k az by ( i ) ax bz ( j) ay bz i

(ay bz az by ) i (ax bz az bx ) j (ax by ay bx ) k

 

 

 

 

 

 

ay

az

 

 

 

 

ax

az

 

 

 

 

ax

ay

 

 

 

 

 

i

 

j

k

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

by

bz

 

i

 

bx

bz

 

j

 

bx

by

 

 

k

ax

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

by

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти векторное произведение векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 3i 2 j 3k

и b 2i k .

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

3

2

 

3

 

 

 

0

 

 

1

 

i

 

2

 

1

 

 

j

 

2

0

 

k

2i

3 j

4k .

 

 

 

2

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 10. Смешанное произведение трех векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b и c

называется скалярное произведение вектора векторного произведения векторов a и b на третий вектор c , т.е.

a b c a b c .

 

 

Пусть

a

a

x

; a

y

; a

z

,

b

b ; b

y

; b ,

c c

x

; c

y

; c

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

ay

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

ax

ay

 

 

az

,

или

a

b

 

 

 

b

y

b

;

 

b

x

 

 

b

;

b

b

y

 

.

 

 

 

bx

by

 

 

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

z

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

39

a b c

 

ay

az

 

c

 

 

ax

az

 

c

 

 

ax

ay

 

 

 

ax

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

c

z

 

b

b

y

b

.

 

 

by

bz

 

 

 

bx

bz

 

 

 

bx

by

 

 

x

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx

cy

cz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства смешанного произведения трех векторов.

Теорема 1. При круговой перестановке векторов a , b и c смешанное произведение не меняет своего значения. При любой другой перестановке этих векторов их смешанное произведение меняет знак на противоположный, т.е.

a b c c a b b c a b a c a c b c b a .

Доказательство: докажем, например, что

a

b c

a

c

b .

 

Пусть a a

x

; a

y

; a

z

,

b b ; b

y

; b

 

,

c c

x

; c

y

; c

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b c

 

ax

 

 

ay

az

 

 

ax

 

 

ay

az

 

a c b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

x

 

 

b

y

b

 

 

c

x

 

 

c

y

c

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx

 

 

cy

cz

 

 

bx

 

 

by

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2. Смешанное произведение трех векторов a , b и c с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах:

a b c V .

Доказательство:

 

a b c d c

d a b

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

b

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.20

 

 

Теорема 3.

 

a b c 0

 

a b

 

 

 

c

 

 

cos SOABC

 

c

 

cos

 

 

 

 

 

(рис. 1.20).

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

Тогда

 

h

 

cos ,

 

2 .

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b c SOABC h V .

2)2 . Тогда cos 0 ,

c cos h ,

a b c SOABC h V .

a , b и c – компланарны.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть a b c 0 . Докажем, что a , b и c – компла-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

нарны. Действительно, если бы a ,

b

и c были некомпланарны,

то на них

можно было бы построить параллелепипед с объемом V a

b

c

0. Зна-

чит, a , b и c компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Достаточность. Пусть

 

a ,

b

 

 

и

 

c

– компланарны.

Докажем, что

a

b c

0 . Не ограничивая общности,

можно считать,

что

a

, b и c .

Тогда d

a b , и значит,

d c . Отсюда d c 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2i j k ,

b i 3 j k ,

c i j 4k .

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

1

 

24 1 1 3 2 4 33.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

Компланарны

ли

 

 

векторы

a 1; 1; 3 ,

b 3; 2; 1 ,

c 2; 3; 4 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

1

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

c

 

 

8 2 27 12 3 12 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смешанное произведение векторов a ,

b и c равно нулю, следовательно, эти

вектора компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.

Найти

объем треугольной

пирамиды

с

вершинами

A(2; 2; 2) , B(4; 3; 3) , C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6) .

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдем векторы

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB ,

AC

 

AD , совпадающие с ребрами пирами-

ды,

сходящимися

в

вершине

A :

 

AB 2i j k ,

AC 2i 3 j 2k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3i 3 j

4k . Находим смешанное произведение этих векторов:

AD

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24 6 6 9 12 8 7 .

 

 

 

 

 

AB AC AD

 

2

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. объем пирамиды равен 1 6

объема параллелепипеда, построенного на

 

 

 

 

 

и

 

 

V 7 6 (куб. ед.).

 

 

 

 

 

 

векторах AB

, AC

AD , то

 

 

 

 

 

 

41

Глава II

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

ИВ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Алгебраические уравнения первой и второй степени

Рассмотрим Декартову систему координат на плоскости. Каждая точка M определяется на плоскости единственным образом своими координатами, которые совпадают с координатами ее ради-

y

 

ус-вектора rM (рис. 2.1).

M (x ; y)

 

Однако метод координат находит при-

 

менение не только в вопросах, связанных с

rM

 

 

рассмотрением положения отдельных точек.

y

 

Оказывается, что рассмотрение основной

x

 

идеи – определения положения точки при

O

x

помощи координат – дает возможность про-

Рис. 2.1

 

изводить методами алгебры изучение и более

 

сложных геометрических образов – линий.

Рассмотрим точку M ( x ; y) , перемещающуюся по плоскости xOy ; бу-

дем называть такую точку переменной точкой. Ясно, что при каждом определенном положении точки M на плоскости ее координаты ( x ; y) будут иметь

определенные числовые значения, и что различным положениям точки M на плоскости будут отвечать различные численные значения ее координат. Таким образом, координаты переменной точки являются величинами переменными, поэтому их называют текущими координатами.

Определение. Уравнением плоской линии называется уравнение с пе-

ременными x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Аналогично вводятся понятия уравнений поверхности и линии в пространстве.

Определение. Порядком алгебраического уравнения называется старшая степень, с которой переменные входят в это уравнение.

Так, например,

Ax By C 0 – общее уравнение 1-го порядка с двумя неиз-

вестными;

Ax By Cz D 0 – общее уравнение 1-го порядка с тремя неизвестными;

Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0 – общее уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности