2.6. Вычисление центра тяжести плоской линии

Пусть на плоскости дана дуга АВ материальной линии, уравнение которой y=F(x), гдеF(x) - непрерывная на отрезке [a;b] функция, имеющая непрерывную производную

Координаты центра тяжести будут:

;, гдеs– длина дуги;

- дифференциал длины дуги (формула получена ранее).

Статические моменты дуги АВ:

;.

Если дуга АВ расположена симметрично относительно некоторой прямой, то ее центр тяжести непременно лежит на этой прямой.

Пример 14. Найти центр тяжести дуги, составляющей четверть окружности радиуса В.

Выбираем систему координат, как указано на рисунке. Уравнение окружности: , откуда;;.

Длина четверти окружности , т.к. дуга АВ симметрична относительно биссектрисы.

Если координаты угла y=x, то х=у, найдем у:

.

Ответ: .

2.7. Центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую материальную фигуру, ограниченную прямыми х=а, x=b(a<b) и кривымиy=,, где функцииинепрерывны наи:

,, где(площадь фигуры).

Если фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х=bи кривойy=f(x), гдеf(x) – неотрицательная непрерывная на отрезках [a;b] функция, то полученные формулы будут проще:

;.

Если фигура располагается симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести ее лежит на этой прямой.

Пример 15. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой и осями координат.Т.к. данная фигура симметрична относительно биссектрисыIкоординатам угла, то ее центр тяжести лежит на этой прямой у=х, и следовательно,;

Ответ:

Задача I.

1. Вычислить (внесение функции под знак дифференциала).

1.5.

Задача 2.

Вычислить применением метода интегрирования по частям.

2.5.

Задача 3.

Вычислить универсальной подстановкой.

3.5.

Задача 4. (подстановкой)

4.5.

Задача 5.

Вычислить площадь плоской фигуры.

5,5Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми х=1; х=5.

Задача 6.

Вычислить длину дуги.

6.5. x=4(t-sint), y=4(1-cost) (длину дуги одной арки циклоиды)

Задача 7.

7.5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной ветвью гиперболы x²-y²=1 и прямой х=3.

Задача 8.

8.5. Астроиды х=acos³t, y=asin³t.

Задача 9.

9.5. С высоты 294м вертикально вниз брошено тело с начальной скоростью 19,6 ^M/с. Через сколько секунд тело упадет на землю? ( Ускорение силы тяжести принять равным 9,8м/с)

Задача 10.

Вычислить несобственный интеграл (исследовать его сходимость).

10.5.