I. Понятие определенного интеграла

Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).

Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .

На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξ_i (i=1,2,3…n). Во взятых точках вычислим значения функции f(x): f(ξ₁), f(ξ₂), f(ξ₃)…, f(ξ_n).

Составим произведения длин ∆x₁ , ∆x₂, …,∆x_n частичных отрезков на значения функции f(ξ_i).

Все эти произведения сложим и выразим сумму их через

(1)

где σ=f(ξ₁)∆х₁+f(ξ₂) ∆х₂+f(ξ₃)∆х₃+…+ f(ξ_n)∆х_n; или

Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f(x) на отрезке [a;b].

Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a;b] однако так, чтобы длина ∆x_i каждого отрезка [x_i-1;x] стремилась к нулю; и рассмотрим получающееся при этом множество интегральных сумм σ.

Если при этом разбиении интегральные суммы будут стремиться к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке[a;b].

Определение.

Если существует предел суммы (1) при ∆х_i→0, то говорят, что функция f(x) интегрируема на [a;b], число I называют определенным интегралом от функции f(x) на [a;b]. ,

где числа «а» и «b» называются пределами интегрирования (или интеграла), соответственно нижним, верхним; отрезок [a;b] – промежутком интегрирования.

1. 1. Основные свойства определённого интеграла

1. По определению .

2. По определению .

3. Каковы бы ни были числа a,b,c, всегда имеет место равенство

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т. е.

.

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

.

1. 2. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) есть какая-либо первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

=F(b)-F(a) . (2)

Пример 1. Вычислить: .

Решение: применим формулу Ньютона-Лейбница:

=F(x)|=F(b) -F(a)

Преобразуем подынтегральную функцию

.

1.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть функции U(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a;b], тогда справедлива формула

. (3)

Пример 2. Вычислить: .

Решение: пусть , т. к. функцииинепрерывны навместе со своими производными, то согласно формуле (I) находим

.

1.4. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить , где f(x) - непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения вместо старой переменной новой переменной t, связанной со старой соотношением .

Итак, введем новую переменную t , положив .

Пусть выполняются следующие условия:

а) функция определена и непрерывна на отрезке ;

б) при изменении t на значения функциине выходят за пределы отрезка . При этом;

в) Функция на отрезкеимеет непрерывную производную.

Тогда имеет место равенство

(4)

При пользовании формулой (4) следует функцию стараться выбирать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.

Пример 3. Вычислить:

Решение: применим подстановку: .Найдем пределы интегралов для новой переменной при , при.

Следовательно, при применении x от 1/3 до 1 новая переменная t изменяется от 3 до 1.

Функция - убывает и непрерывна вместе со своей производной

на отрезке

Пример 4. Вычислить: .

Решение.