Механима, термодин, молекуляр / книги / Konspekt_lekcij_Mekhanika_Molekulyarnaya_fizika_i_termodinamika

Простейшими являются гармонические колебания, но любые сложные колебания всегда можно представить в виде совокупности гармонических колебаний.

6.2. Уравнение гармонического колебания и его основные параметры.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса (или косинуса).

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармоническое колебание величины s описывается уравнением типа

где: A − амплитуда колебания — максимальное значение колеблющейся величины;− круговая (циклическая) частота; t 0 — фаза колебания в момент времени t;

0 − начальная фаза колебания в момент времени t = 0.

Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от + A до − A.

Поскольку cos(a + 2π ) = cosa , то при гармонических колебаниях увеличение (приращение) фазы колебания на 2π приводит к тому, что все величины, характеризующие колебание, принимают исходное значение.

Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются состояния колеблющейся системы (совершается одно полное колебание) и фаза колебания получает приращение 2π:

(t T ) 0 t 0 2 ,

откуда

Частотой колебаний n называется величина обратная периоду колебаний — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени

n 1

T 2

Круговая или циклическая частота колебаний ω называется величина равная числу полных колебаний, совершаемых за время равное 2π единиц времени.

Единица частоты — герц (Гц) — частота периодического процесса, при котором за 1 секунду совершается один цикл колебаний.

61

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда для колеблющейся точки

Смещение: x Acos( t 0 ),

Скорость: v x A cos( t 0 ) A sin( t 0 ) A cos( t 0 2 ),

Таким образом, сила пропорциональна смещению материальной точки и направлена в сторону, противоположную смещению (к положению равновесия). Такая зависимость от смещения характерна для упругих сил и поэтому силы, которые аналогичным образом зависят от смещения, называются квазиупругими.

Кинетическая энергия материальной точки:

суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте 0 :

62

Такое представление периодической функции f (t) называется разложением ее в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.

Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами 0 , 2 0 , 3 0 и т. д., называются первой (или основной), второй, третьей и

т. д., гармониками сложного периодического колебания s = f (t) . Совокупность этих гармоник образует спектр колебания s = f (t)

6.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Первая (скорость) и вторая (ускорение) производные по времени от гармонически колеблющейся величины s также совершают гармонические колебания с той же циклической частотой:

v s dsdt A sin( t 0 ) A cos( t 0 2 ),

v s d 22s A 2 cos( t 0 ) A 2 cos( t 0 ). dt

Из последнего уравнения видно, что s удовлетворяет уравнению:

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решение есть уравнение гармонических колебаний (6.2.1):

s Acos( t 0 ).

6.4. Колебания груза под действием упругой силы.

Любая система, совершающая гармонические колебания, называется

гармоническим осциллятором.

Рассмотрим колебания тела массой m(кг), которое прикреплено к пружинке с жесткостью k(Н/м) и может совершать колебания без трения вдоль горизонтальной поверхности (рис.1). Начало координатной оси выберем в центре масс тела, находящегося в положении равновесия.

Согласно закону Гука, при отклонении тела от положения равновесия возникает противодействующая

63

растяжению пружины сила F = –kx. Из второго закона Ньютона с учетом того, что ускорение a = dv/dt = d2x/dt2, следует:

Уравнение (6.4.4) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка (порядок уравнения определяется наибольшим порядком производной). Решением дифференциального уравнения является функция x(t), т.е. зависимость координаты тела от времени. Такая функция, будучи подставленной в уравнение (6.4.4), превратит его в тождество. Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (6.4.4) является следующая функция:

Из выражения (6.4.5) видно, что колебания тела будут происходить по гармоническому закону. Система, совершающая такие колебания, является

гармоническим осциллятором.

Скорость, с которой совершает колебания система, можно найти как производную

Рассмотрим физический смысл уравнения (6.4.5). Как видно, величина отклонения тела от положения равновесия x(t ) описывается функцией косинуса. Максимальное

значение абсолютной величины отклонения равно A . Эта постоянная называется амплитудой колебаний. Поскольку косинус является периодической функцией с периодом, равным 2 , можно определить интервал времени, через который значения физических величин, описывающих процесс колебаний (смещение, скорость, ускорение), повторяются:

Из уравнения (6.4.7) легко получить:

64

Таким образом, период колебаний равен времени, в течение которого совершается одно полное колебание.

Колебательное движение характеризуется частотой колебаний – числом колебаний, совершаемых в единицу времени. Из формулы (6.4.8) мы можем определять

определить, как число колебаний за 2 секунд. В выражении (6.4.5) аргумент косинуса (синуса)

называется фазой колебаний, а величина φ0 = φ(0) – начальной фазой колебаний. Фаза определяет относительное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия (отношение отклонения в данный момент к амплитуде).

Выражение (6.4.5) в общем виде удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.4.4) при любых значениях φ0 и A. Для определенного колебания значения этих величин необходимо определять исходя из начальных условий. Пусть мы отклонили тело от положения равновесия на величину A и отпустили его. Это значит, что в начальный момент отклонение и скорость будут принимать значения x(0) = A и v(0) = 0.

В этом случае уравнение колебания можно записать как с использованием функции

То есть выбор формы записи осуществляется из соображений удобства

6.5. Математический маятник.

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длинной l, и колеблющейся под действием силы тяжести без трения.

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

При малых углах отклонения α можно считать: sin , x l .

65

Возвращающая сила:

F Psin mg mg xl .

Уравнение движения:

mx F mg xl ,

или

x gl x 0.

Следовательно, движение математического маятника описывается дифференциальным уравнением гармонических колебаний, то есть

происходит по закону s Acos( t 0 ). с частотой и периодом, соответственно:

6.6. Физический маятник.

Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием собственной силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси , не проходящей через центр тяжести С (рис. 6.6.1).

Момент силы тяжести равен силе тяжести, умноженной на плечо этой силы. Плечо равно расстоянию от оси вращения до линии действия силы.

Из рис. 6.6.1 следует равенство:

где m - масса маятника; g - ускорение свободного падения тел; α - угол отклонения маятника от вертикали; l - расстояние, от оси вращения до центра тяжести. Знак минус присутствует по той же причине, что и для математического маятника.

Теперь, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси с учетом (6.6.1) можно записать в виде:

Рассмотрим рассмотреть малые колебания маятника, когда максимальный угол отклонения его от положения равновесия значительно меньше одного радиана. Тогда с хорошей точностью выполняется sin .

Введем обозначение:

66

Решение последнего дифференциального уравнения также является аналогичным решениям уравнений (6.3.1):

(t) m cos( t 0 ) .

Выразив из (6.6.3) и подставив его в (6.2.2), получим выражение для периода колебаний физического маятника:

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом колебаний. Из формулы (6.6.4) видно, что период колебаний физического маятника зависит от трех параметров: массы, момента инерции и расстояния от оси до центра тяжести, а для математического маятника согласно (6.5.1), период зависит только от его длины. Поэтому приведенная длина физического маятника является характеристикой, удобной для практики.

Приравняв формулы (6.5.1) и (6.6.4), легко получить выражение для вычисления приведенной длины физического маятника:

пр ml

Формулу (6.6.5) можно представить в более наглядном виде, если с помощью теоремы Штейнера выразить момент инерции маятника в следующем виде:

где Ic - момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Подставив (6.6.6) в (6.6.5), получим:

проходящей через центр масс, называется центром качания физического маятника. Эта точка обладает одним важным свойством: при переносе точки подвеса в точку K (рис. 6.6.1) точка O становится центром качания, а период колебаний маятника не изменяется.

Докажем это утверждение.

При переносе точки подвеса в точку K расстояние от точки K до центра тяжести C

67

а новая приведенная длина физического маятника согласно (6.6.7) составит:

Подставив это значение li в (6.6.9), получим:

lпр' mlIc l . (6.6.12)

Из формул (6.6.7) и (6.6.12) видно, что l'пр=lпр, т.е. при переносе центра качания в точку подвеса приведенная длина физического маятника не изменяется, поэтому не изменяется и его период колебаний.

Оборотным называют физический маятник, имеющий две оси вращения, вторая из которых находится в точке качания. В этом случае, расстояние между осями равно приведенной длине физического маятника, а периоды колебаний относительно обеих осей совпадают. Простейший оборотный маятник представляет собой длинный однородный стержень, на котором закрепляются две оси и два груза. Он часто используется для определения ускорение свободного падения.

6.7. Затухающие колебания. Декремент затухания, добротность.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Затухание механических колебаний вызывается главным образом трением. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Система называется линейной, если параметры, характеризующие те физические

свойства системы, которые существенны для рассматриваемого процесса, не изменяются в ходе процесса.

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми

уравнениями, что позволяет осуществлять единый подход к изучению колебаний различной физической природы.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид

68

где s − колеблющаяся величина, = const — коэффициент затухания, 0 − циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при = 0). В случае малых затуханий ( 2 02 ) решение этого уравнения:

s A0 e t cos( t 0 ),

где: A A0 e t — амплитуда затухающих колебаний, A0 – начальная амплитуда,

02 2 — циклическая частота затухающих колебаний.

Промежуток времени 1 , в течение которого амплитуда затухающих колебаний

уменьшается в e раз называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний. Затухающие колебания не являются периодическими.

Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода затухающих колебаний как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся физической величины:

√

На практике вместо коэффициента затухания δ используют другие, связанные с δ величиной:

а) декремент затухания ψ (отношение амплитуд колебаний для двух соседних периодов):

б) логарифмический декремент затухания λ:

в) добротность колебательной системы Q:

69

При слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя 2 равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли энергии за один период колебаний.

Так как энергия системы, совершающей колебания, равна

W mA2 2 ,

2

то формулу (6.7.2) можно переписать как

При слабом затухании (малом коэффициенте δ ) экспоненту можно разложить в ряд Тейлора, пренебрегая слагаемыми выше первого порядка

e 2 T 1 2 T

И тогда формулу (6.7.3) можно переписать как

С учетом (6.7.4) выражение (6.7.1) можно переписать как

где N= /T – число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е 2.72 раза.

Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. 6.4) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx, сила сопротивления пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу 0= k / m (см. (6.4.3)) и принимая, что коэффициент затухания

получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Из этих выражений вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

x A0e t cos( t ),

70