Механима, термодин, молекуляр / книги / Konspekt_lekcij_Mekhanika_Molekulyarnaya_fizika_i_termodinamika

vR .

По определению векторного произведения (см. 1.3. ) его модуль равен R sin , где

Таким образом, связь тангенциального ускорения и углового ускорения определяется выражением:

[ ]

совершает один полный оборот, 2 T .

Частота вращения — число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени:

Единица частоты вращения — герц (Гц).

При равноускоренном вращательном движении const :

12

Глава 2.Динамика материальной точки. 2.1. Основная задача механики.

Основная задача механики состоит в том, чтобы зная взаимодействия тела, движение которого изучается, с другими телами, а также его состояние движения в некоторый начальный момент времени, определить, как изменяется положение этого тела относительно другого условно неподвижного тела с течением времени, т.е. определить положение тела в любой момент времени.

В классической механике состояние движения точки в любой момент времени характеризуется его положением (например, координатами x,y,z) и скоростью . Вместо скорости можно использовать также импульс.

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

2.2. Первый закон Ньютона. Масса. Импульс. Сила.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние

покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10–12 их значения).

Единица массы — килограмм (кг).

Плотностью тела ρ в данной его точке M называется отношение массы dm малого элемента тела, включающего точку M, к величине dV объема этого элемента:

dVdm

13

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или

изменяет свою форму и размеры. Сила F полностью задана, если указаны ее модуль F ,

направление в пространстве и точка приложения.

Единица силы — ньютон (Н): 1Н — сила, которая массе в 1кг сообщает ускорение 1м/с2 в направлении действия силы.

Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами. Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем или просто полем. Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей. Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации рассматриваемого тела под действием приложенных к нему сил.

При этом, конечно, каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил. Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени.

Одновременное действие на материальную точку нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей, или результирующей, силой и

равной их геометрической сумме.

Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы, называются внешними телами. Силы, действующие на систему со стороны внешних тел, называются внешними силами. Внутренними силами

называются силы взаимодействия между частями рассматриваемой системы. Механическая система называется замкнутой, или изолированной, системой,

если она не взаимодействует с внешними телами (на нее не действуют внешние силы). Тело называется свободным, если на его положение и движение в пространстве не наложено никаких ограничений, и — несвободным — если на его возможные положения и движения наложены те или иные ограничения, называемые в механике связями.

Несвободное тело можно рассматривать как свободное, заменив действие на него тел, осуществляющих связи, соответствующими силами. Эти силы называются реакциями связей, а все остальные силы, действующие на тело, — активными силами.

Векторная величина, равная произведению массы m материальной точки на ее скорость υ, и имеющая направление скорости, называется импульсом, или количеством движения этой материальной точки.

pmv .

14

2.3. Второй закон Ньютона.

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):

a

или

Таким образом:

Более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Это выражение является уравнением движения материальной точки:

Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности в классической механике — однозначная связь между изменением с течением времени состояния движения и положения в пространстве материальной точки и действующими на нее силами, что позволяет, зная начальное состояние материальной точки, вычислить

еесостояние в любой последующий момент времени.

2.4.Принцип независимости действия сил.

Вмеханике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Например, нормальное и тангенциальное ускорения материальной точки определяются соответствующими составляющими силы:

15

Сила Fn , сообщающая материальной точке нормальное ускорение, направлена к центру кривизны траектории и потому называется центростремительной силой.

2.5. Третий закон Ньютона.

Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

где F12 — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F21 — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой.

Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют

парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной системы материальных точек, поскольку позволяет свести любое взаимодействие к силам парного взаимодействия между материальными точками.

2.6. Движение центра масс. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим движение произвольной системы материальных точек (частиц). Пусть О – начало системы координат, а mi, ri и vi – масса, радиус-вектор и скорость i – ой частицы (рисунок). Так как, – импульс i-ой материальной точки, то

∑– импульс всей системы.

Центром инерции или центром масс системы материальных точек называют такую точку С, радиус-вектор

т.е. импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра инерции.

16

импульса сохраняется. Это утверждение называют законом сохранения проекции импульса.

Закон сохранения импульса является фундаментальным законов, и как доказывается в теоретической физике, является следствием однородности пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются (не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета).

2.7. Уравнение движения тела переменной массы.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, а скорость станет равной v + dv.

где u — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что dmdv — малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому

или

Второе слагаемое в правой части этого уравнения называют реактивной силой Fp. Если противоположен по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859—1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы-

валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К. Э. Циолковский (1857—1935) в 1903

г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.

Применим полученное уравнение к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

Откуда

18

Значение постоянной интегрирования Сonst определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m0, то Сonst = u ln(m0). Следовательно,

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m0; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

2.8. Момент силы. Момент импульса. Основное уравнение вращательного движения.

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная произведению силы на ее плечо. Плечо силы относительно оси – это кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила (линия действия

силы).

Моментом M силы F относительно точки О называется векторная величина, определяемая векторным произведением радиусавектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы (точка B), на силу F (Рис.2.8.1):

векторами r и F, d = r*sin – плечо силы относительно точки – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Вектор M перпендикулярен

к плоскости, в которой лежат векторы r и F. Направление вектора M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке 2.8.1.

Момент силы относительно оси также равен проекции на эту ось вектора момента силы M определенного относительно произвольной точки на этой оси. Значение момента силы относительно оси не зависит от выбора положения точки на оси.

Аналогично вводится момент импульса. Моментом импульса L материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора этой точки на вектор ее импульса p :

L r,p r, mv ,

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А, расположения материальной точки, p=mv – импульс материальной точки. Модуль вектора момента импульса:

L rpsinα mvr sinα pl ,

19

где - угол между векторами r и p, l – плечо вектора p относительно точки О. Вектор L, согласно определению векторного произведения перпендикулярен к плоскости в которой лежат векторы r и p (или v), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке 2.8.2.

Моментом импульса относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки на этой оси.

Для выяснения назначения приведенных выше понятий рассмотрим систему из двух материальных точек (частиц) и затем обобщим результат на систему из произвольного числа частиц (т.е. на твердое тело). Пусть на частицы с массами m1, m2, импульсы которых p1 и p2, действуют внешние силы F1 и F2. Частицы также взаимодействуют друг с другом внутренними силами f12 и f21.

Запишем второй закон Ньютона для каждой из частиц, а также вытекающую из

поскольку f21=-f12, а вектор r1-r2 направлен по одной и той же прямой, что и вектор

f12.

20