Механима, термодин, молекуляр / книги / Konspekt_lekcij_Mekhanika_Molekulyarnaya_fizika_i_termodinamika

Учитывая (2.8.5)и (2.8.6) из (2.8.4) получим

Уравнение (2.8.7) является математической записью основного закона динамики

вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы равна сумме действующих на нее моментов внешних сил. Этот закон справедлив относительно любой неподвижной или движущейся с постоянной скоростью точки в инерциальной системе отсчета. Отсюда же следует закон сохранения момента импульса:

если момент внешних сил M равен нулю, то момент импульса системы сохраняется

(L=const).

2.9.Силы в природе. Четыре вида взаимодействий.

Различные взаимодействия, известные современной физике сводятся к четырем типам: гравитационное, электромагнитное, сильное, слабое.

Гравитационное взаимодействие возникает между всеми телами, обладающими массой в соответствии с законом всемирного тяготения:

между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m1 и т2) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r2):

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

Электромагнитное взаимодействие возникает между телами, обладающими электрическими зарядами, изучается более подробно в разделе ―Электричество и магнетизм‖.

Сильное взаимодействие обеспечивает связь протонов и нейтронов в атомном ядре. Слабое взаимодействие отвечает за процессы распада элементарных частиц.

В рамках механики часто имеют дело с силой тяжести (гравитационной силой), и двумя разновидностями электромагнитных сил – силами упругости и трения. Две последние имеют электромагнитное происхождение.

2.9.1. Сила тяжести и вес. Невесомость.

В системе отсчета связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила:

P mg ,

называемая силой тяжести — сила, с которой тело притягивается Землѐй. Или более точно, сила тяжести – векторная сумма гравитационной силы и центробежной силы инерции. Под действием силы притяжения к Земле все тела в данном месте Земли падают с одинаковым ускорением g , называемым ускорением свободного падения. Оно изменяется вблизи

21

поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км).

Весом тела — называется сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес. Сила тяжести действует всегда, а вес проявляется лишь тогда, когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Сила тяжести равна весу тела только в том случае, когда ускорение тела относительно земли равно нулю. В противном случае, вес тела:

где a — ускорение тела с опорой относительно Земли. Если тело свободно движется в

поле силы тяготения, то a g и вес равен нулю, т.е. тело будет невесомым.

Невесомость — это состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести.

2.9.2. Силы сухого и вязкого трения.

При перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга появляются силы трения. Различают трение внешнее и внутреннее. Под внутренним трением (или вязкостью) понимают трение, возникающее при перемещении частей одного и того же тела (обычно это движение слоѐв жидкости или газа). К внутреннему трению относится также и трение, возникающее при движении твердого тела в жидкости или газе. В этом случае слои среды, прилегающие к поверхности, вовлекаются этим телом в движение с той же скоростью, которую имеет тело, и движущееся тело тормозится прилегающими слоями среды.

Трение, возникающее при соприкосновении поверхностей двух различных тел при их относительном движении или при попытке вызвать это движение, называется внешним трением (сухое трение). Строго говоря, внешнее трение наблюдается только для твердых тел без смазочной прослойки, так как только в этом случае имеется непосредственный контакт двух тел.

Рассмотрим некоторые закономерности внешнего трения.

Внешнее трение подразделяется на: трение покоя, возникающее до начала движения; трение скольжения, возникающее при движении поверхностей двух соприкасающихся тел; трение качения, возникающее, когда одно тело катится по поверхности другого.

Силы внешнего трения возникают по нескольким причинам. Первой причиной возникновения сил трения является шероховатость поверхности тел. При соприкосновении тел микроскопические выступы на поверхности одного тела зацепляются за такие же выступы другого тела. При этом, если одно из тел движется по поверхности другого, выступы срезаются, для чего необходимо действие некоторой силы. Второй причиной является то, что в точках соприкосновения поверхностей проявляется действие межмолекулярных сил, между молекулами находящимися вблизи поверхности соприкосновения. В частности, вступающие в контакт неровности поверхности образуют ―мостики сварки‖, и сила трения обусловлена сопротивлением разрушению этих мостиков. Третьей причиной является появление несимметричных деформаций (см. силу трения качения).

В настоящее время разработан ряд теорий трения, в основу каждой из которых положено то или иное явление: адгезионная теория трения, молекулярная теория трения, молекулярно-механическая теория трения.

22

2.9.2.1.Трение покоя.

Осуществовании сил трения покоя, действующих на соприкасающиеся тела при их относительном покое, свидетельствует такой опытный факт, что для приведения в движение одного из соприкасающихся твердых тел к нему необходимо приложить в направлении движения внешнюю силу, превышающую некоторую определенную величину, характерную для данных соприкасающихся тел. Если внешняя сила недостаточно велика, то, несмотря на еѐ действие, тело остается в покое, так как эта сила уравновесится силой трения покоя.

Пусть некоторое тело покоится на горизонтальной поверхности, и нему приложена внешняя сила F (рис.2.9.2.1), на него также действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры N. Так как тело находится в покое, то согласно I закону Ньютона, векторная сумма

И взяв проекции этих сил на направление возможного перемещения (вдоль плоскости соприкосновения, ось x), получим:

f тр F cos .

Таким образом, сила трения покоя – неоднозначная величина: с изменением внешней силы F соответственно изменяется и сила трения покоя. Если на тело внешняя сила F не действует, то сила трения fтр также равна нулю. Но сила трения покоя может изменять свою величину лишь до некоторого максимального значения fтр_max, и согласно опытному закону Амонтона и Кулона:

f тр_max ' N

где ’ – коэффициент трения покоя. Для рассмотренного на рисунке 1 примера:

f тр_max ' (mg F sin ) .

2.9.2.2.Трение скольжения.

Когда горизонтальная составляющая внешней силы F окажется по величине больше f , то неизбежно возникает скольжение данного тела по поверхности соприкасающегося с ним другого тела. Опыт показывает, что силы трения скольжения зависят от относительной скорости скольжения (Рис.2.9.2.2). Вначале с возрастанием относительной скорости величина сил трения скольжения fтр несколько уменьшается, а затем при дальнейшем возрастании , величина сил трения так же медленно начинает

23

возрастать. Возрастание величины сил трения с уменьшением относительной скорости скольжения, после того как она уже стала достаточно малой, проявляется, например, при торможении поездов, трамваев и т.д., поэтому для более плавного уменьшения скорости тел торможение производится с несколькими перерывами. Однако величина сил трения скольжения изменяется с изменением относительной скорости настолько слабо, что часто еѐ считают не зависящей от относительной скорости (рис. 2.9.2.2., прерывистая линия).

Величина сил внешнего трения как при скольжении, так и при покое зависит от материалов тел, состояния их соприкасающихся поверхностей ( от их шероховатости), а также от величины силы реакции N одного из тел на другое. Влияние указанных факторов на величины сил внешнего трения экспериментально исследовали Амонтон и Кулон. Они установили закон выполняющийся для сил трения скольжения и для максимальной силы трения покоя. Суть этого закона: величина силы трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей и пропорциональна силе реакции опоры:

f тр N

где – коэффициент трения скольжения, величина безразмерная, зависит от материалов соприкасающихся тел, состояния их поверхностей, величины относительной скорости.

При соприкосновении достаточно гладких поверхностей необходимо учитывать вклад сил межмолекулярного взаимодействия. Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения

скольжения

Fтр = f ист (N + Sp0),

где р0 — добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S — площадь контакта между телами; fист — истинный коэффициент трения скольжения.

2.9.2.3.Трение качения.

Опыт свидетельствует также о существовании сил трения, действующих на тела при их качении по поверхности других тел. Так если цилиндрическое тело катится по горизонтальной поверхности и предоставлено самому себе, то с течением времени постепенно замедляется как его поступательное движение, так и вращение вокруг своей оси. Качение тел замедляется благодаря действию на них сил трения качения со стороны поверхности, по которым они движутся. Сила трения качения возникает из-за

24

деформации поверхности, по которой катится тело, несимметричной относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра.

Рассмотрим цилиндрическое тело, которое катится по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью поступательного движения центра масс с

O F

R

fтр

mg k

Рис.2.9.2.3.

помощью силы F (рис.2.9.2.3).

На рисунке 2.9.2.3: О – ось цилиндра, R – радиус цилиндра, сила реакции опоры N разложена на две составляющие Fn, fтр т.е.

Величина силы F подбирается такой, чтобы качение происходило равномерно, т.е. чтобы скорость поступательного движения оси цилиндра , а также скорость его вращения вокруг своей оси оставались постоянными. Тогда направление силы реакции опоры N должно проходить через ось цилиндра, так как только в таком случае угловая скорость вращения цилиндра окажется неизменной.

Поскольку, скорость движения оси цилиндра =const, то согласно первому закону Ньютона:

f тр N sin ,

Где sin =k/R, к – расстояние от вертикального диаметра цилиндра до точки приложения силы реакции N. Тогда для силы трения качения получаем выражение

f тр k NR

Величину k называют коэффициентом трения качения. Коэффициент трения качения имеет размерность длины.

25

Сила трения качения меньше силы трения скольжения. Поэтому для уменьшения трения в различных механизмах используют подшипники качения. Для уменьшения силы трения между трущимися поверхностями вводят смазку. В этом случае, как показал русский инженер Н.П.Петров, мы имеем дело с внутренним трением скольжения, происходящим лишь между слоями жидкости. Для уменьшения силы трения используют и то обстоятельство, что коэффициент трения уменьшается с увеличением твердости. Поэтому, например, при изготовлении узлов часовых механизмов, прецизионных приборов и т.д., применяют такие материалы, как агат, рубин и др.

В ряде случаев, например, при торможении, необходимо увеличить силу трения. Для этого трущиеся детали изготавливают из одного материала, поскольку, как показывает опыт, коэффициент трения в данном случае больше, чем при наличии двух различных материалов.

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки.

2.9.3. Деформация тела. Закон Гука.

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем делать.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F1 и F2 (F1=F2=F), в результате чего длина стержня меняется на величину l. Естественно, что при растяжении l положительно, а при сжатии отрицательно.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется

напряжением:

( )

Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным, если же по касательной к поверхности — тангенциальным.

Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

( )

26

относительное поперечное растяжение (сжатие)

,

где d — диаметр стержня.

Деформации и ' всегда имеют разные знаки (при растяжении l положительно, ad отрицательно, при сжатии l отрицательно, a d положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь и ':

где — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона*.

Английский физик Р. Гук (1635—1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение и напряжение прямо пропорциональны друг другу:

( )

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга (Т. Юнг (1773—1829) — английский ученый). Из выражения (2.9.3.3) видно, что модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице.

Из формул (2.9.3.2), (2.9.3.3) и (2.9.3.1) вытекает, что

Или

( )

где k—коэффициент упругости. Выражение (2.9.3.4) также задает закон Гука, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход которой мы рассмотрим для металлического образца (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость ( ), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности

( п). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость ( ) уже не линейна) и до предела упругости ( у) остаточные деформации не возникают. За

пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей — CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация ( 0,2%), называется пределом текучести ( т) — точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести

(или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует — хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит

27

разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения,

называется пределом прочности ( р).

Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факторов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

Вычислим потенциальную энергию упруго растянутого (сжатого) стержня, которая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

∫

где х — абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до l. Согласно закону Гука (2.9.3.4), F=kx=ESx/l. Поэтому

т. е. потенциальная энергия упруго растянутого стержня пропорциональна квадрату деформации ( l)2.

Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу F , (рис. 36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы

где s — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительнодруг друга; h — расстояние между слоями (для

малых углов tg ).

Касательная сила, действующая на единицу площади поперечного сечения,

называется тангенциальным напряжением:

Также экспериментально установлено, что для малых деформаций относительная деформация сдвига γ и тангенциальное напряжение прямо пропорциональны друг другу:

где коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига.

2.10. Энергия, работа, мощность. Кинетическая энергия.

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С

различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в

28

той иди иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

В данном курсе ―Механика‖ введем количественное понятие механической энергии, одной из форм энергии.

Пусть на материальную точку действует некоторая сила F, тогда согласно второму закону Ньютона уравнение движение материальной точки:

m ddtv F

Умножим уравнение движение материальной точки на элементарное перемещение dr vdt . Тогда

Величину Eк называют кинетической энергией. Кинетическая энергия тела –

энергия, обусловленная его механическим движением. Она численно равна работе, которую необходимо совершить, чтобы сообщить телу массы m скорость v. Смысл введения кинетической энергии состоит в том, что это – сохраняющаяся величина при движении материальной точки в отсутствие действия сил. Кинетическая энергия – величина аддитивная, для системы из n материальных точек она равна сумме кинетических энергий отдельных точек:

Отметим, что в зависимости от угла между направлениями перемещения и силы, последняя может выполнять как положительную (0 ≤ α < π/2, приращение кинетической энергии частицы положительно), так и отрицательную работу (π/2 < α ≤ π, приращение кинетической энергии частицы отрицательно, работа выполняется против силы за счет

29

запаса кинетической энергии частицы). В частности, при α = π/2 работа не выполняется и кинетическая энергия сохраняется.

При движении частицы по конечному участку траектории от точки 1 до точки 2 (рис. 2.10.1) полную работу найдем как сумму работ на отдельных элементарных участках, т.е. как криволинейный интеграл по траектории от точки 1 до точки 2:

Таким образом, работа сил, действующих на частицу, равна приращению кинетической энергии частицы.

В СИ единицей работы и энергии является джоуль: 1 Дж = 1 Н · м.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность N равна работе совершаемой за единицу времени, также равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

Единица мощности — ватт (Вт): 1Вт — мощность, при которой за время 1с совершается работа 1Дж: 1Вт=1Дж/с.

2.11. Консервативные и неконсервативные силы в механике. Потенциальная энергия.

Если частица в каждой точке пространства подвержена действию сил, то говорят, что она находится в поле сил. Например, вблизи поверхности Земли в каждой точке пространства на частицу действует сила тяжести G = mg. Поэтому говорят, что частица находится в поле силы тяжести.

Пусть в некоторой декартовой системе координат под действием силы F = Fx i + Fy частица совершает элементарное перемещение

dr = dx i + dy j + dz k. Если стационарное силовое поле можно описать с помощью функции U(x, y, z) такой, что

2U(x, y, z) есть потенциальная энергия тела, на которое действует силовое поле, создаваемое другими телами в данной точке пространства. Таким образом, потенциальная энергия –

Элементарная работа сил поля

30