6.6. Математическая статистика Вариационные ряды

Данная тема подробно изучается в курсе статистики. Однако ее основные вопросы будут неоднократно использоваться в дальнейшем. Поэтому их необходимо повторить перед ознакомлением с последующими темами. Кроме того, при изучении таких абстрактных понятий, как распределение дискретной случайной величины, математическое ожидание и дисперсия случайной величины, существенную помощь может оказать аналогия с распределением признака в виде вариационного ряда.

Основные формулы

Вариационный ряд (дискретный)

Таблица 6.6.1

x1	x1	x2	…	x1	…	xm	Всего
n1	n1	n2	…	n1	…	nm	n

Средняя арифметическая дисперсия:

Формулы для упрощенных вычислений:

где k и c –произвольные числа.

Выборочный метод. Общие вопросы.

Выборочный метод широко применяется на практике. Однако значение этой темы значительно шире, поскольку концепция выборки лежит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результат наблюдений) и теоретической моделью. Основная идея выборки (выборочного наблюдения) заключается в следующем: определить неизвестные характеристики генеральной совокупности (генеральную), долю признака , генеральную среднюю и генеральную дисперсиюс помощью данных выборочного распределения.

Рассматривается вероятность

где X-выборочная доля () или выборочная средняя (x_В);

a-их математические ожидания (генеральная доля  или генеральная средняя );

-предельная ошибка выборки;

P-доверительная вероятность;

X-, X+-доверительные границы;

 средняя квадратическая ошибка.

Эмпирическая функция распределения.

Как известно из теории вероятностей, функция распределения вероятностей случайной величины «X», определяемая соотношением является универсальной формой задания закона распределения, как для дискретных, так и для случайных непрерывных величин.

Поэтому, используя теорему сложения вероятностей и заменяя теоретические вероятности p_i на их оценки , мы получаем следующую эмпирическую функцию распределения F_n(x) для случая дискретной исследуемой случайной величины:

	0	при
	1	при
	1+2	при
	………
		при

В случае непрерывной исследуемой величины Х при извлечении выборки для случайного событиямы опять имеем классическую схему Бернулли, поэтому теоретическая вероятность события «А_i», определяемая в теории вероятностей как , оценивается относительной частотойпопадания точки выборки вi-й класс. Припишем эту вероятность середине i-го класса, т.е значению ,

далее строим эмпирическую функцию так же, как и для случая дискретной случайной величины, в результате мы получим:

	0	при
	1	при
	1+2	при
	………
		при

Полученные таким образом функции являются оценкой теоретической функции распределения F(x); из теоремы Бернулли следует, что F_n(x) сходится по вероятности при объеме выборки n к F(x), т.е. для любого положительного числа  и любого числа -<x<+ .

	0	при
	1/10	при
	3/10	при
	5/10	при
	7/10	при
	8/10	при
	9/10	при
	1	при

Пример 6.6.1 Результаты проверки 10^ти однотипных приборов на длительность работы представлены следующей таблицей.

Таблица 6.6.2

i(номер прибора)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x1(время работы в часах)	200	350	600	450	400	400	500	350	450	550

Статическое распределение частот

Таблица 6.6.3

x1	200	350	400	450	500	550	600
n1	1	2	2	2	1	1	1
1	1/10	2/10	2/10	2/10	1/10	1/10	1/10

Эмпирическая функция F*(x).

Чтобы найти значение F*(x), нужно подсчитать число вариант, меньших х и разделить на общее число вариант:

График функций F*(x)

1

0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Рис. 6.6.1.

Гистограмма

На практике имеет распространение и другое графическое представление выборки, известное под названием гистограммы выборки.

Предварительно выборка подвергается группировке. Для этого весь интервал числовой оси, в который попадают значения выборки , разбивают на несколько частичных интервалов (обычно 10-20) длиною h и находят для каждого частичного интервала n_i-сумму частот вариант, попавших в i-тый интервал. Над каждым из интервалов, как на основании, строится прямоугольник высотой n_i/h (плотность частоты).