Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / булев функц_лекция 3
.pdf
Пример
Составить для импликации и сложения по модулю СДНФ и СКНФ.
Тогда СДНФ для этих функций 
СКНФ для этих функций
71
Соверше́нная конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СКНФ) — это такая КНФ,
которая удовлетворяет трём условиям:
в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций
в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву
из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.
Любая булева формула, не являющаяся тождественно истинной, может быть приведена к СКНФ
72
Алгоритм перехода от ДНФ к КНФ
1.Ставим над ДНФ два отрицания
2.С помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения
3.Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:
Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки
73
переход от КНФ к ДНФ
Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом используется правило поглощения)
переход от ДНФ к СДНФ
Если в конъюнкции недостает переменной вставляем в нее
выражение |
после чего раскрываем скобки |
74
переход от КНФ к СКНФ
Этот переход осуществляется способом, аналогичным предыдущему: если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной, то добавляем в нее выражение
после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона
Таким образом, из КНФ получена СКНФ
75
Пример
Пусть задана таблица истинности для функции, зависящей от трех аргументов
Тогда СДНФ и СКНФ будут:
76
Исчисление высказываний
Каковы бы ни были формулы A, B, C, следующие формулы называют аксиомами исчисления высказываний:
1. A 
(B 
A);
2. (A |
(B |
C)) |
((A |
B) |
(A |
C)); |
3.(A ^ B) 
A;
4.(A ^ B) 
B;
5.A 
(B 
(A ^ B));
6.A 
(A V B);
7.B 
(A V B);
8. (A |
C) |
((B |
C) |
(A V B C)); |
9. ⌐ A |
(A |
B); |
|
|
10. (A |
B) |
((A |
⌐ |
B) ⌐ A); |
11. A V ⌐ A.