Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / булев функц_лекция 3
.pdf
Таблица истинности для импликации
А |
В |
А B |
Смысл высказываний А и В |
Значение высказывания |
|
|
|
|
для указанных значений |
Если на улице дождь, то |
|
|
|
|
|
|
асфальт мокрый |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
Дождя нет |
Асфальт |
Истина |
|
|
|
|
сухой |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
Дождя нет |
Асфальт |
Истина |
|
|
|
|
мокрый |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
Дождь идет |
Асфальт |
Ложь |
|
|
|
|
сухой |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
Дождь идет |
Асфальт |
Истина |
|
|
|
|
мокрый |
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Пример
Если выучишь материал, то сдашь экзамен (высказывание ложно только тогда,
когда материал выучен, а экзамен не сдан,
ведь сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой
А |
В |
А |
В |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
32
Соответствует речевому обороту
ЕСЛИ… ТО
(в естественном языке: если А, то В;
В, если А; В необходимо для А;
А достаточно для В; Все А есть В и др.
Обозначение: ,
F(A,B)=A B
АВ F
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Импликация истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно
Сложение по модулю два
Сложение по модулю два или симметрическая разность или строгая дизъюнкция, исключающая альтернатива.
Эту операцию можно передать словами —
«либо А, либо В»,
т.е. это логическая связка «или», но без включенной в нее связки «и
34
|
Соответствует разделяющему ИЛИ |
|
|
(в естественном языке: |
ЛИБО) |
|
Обозначение: |
ХOR |
Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно ложны или истинны
F(A,B)=A B
АВ F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
А |
В |
А\В В\А |
|
|
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
ЛОГИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ или "тогда и только тогда"
Результирующее сложное высказывание истинно, если одновременно истинны или ложны оба входящих в него высказывания.
Эквивалентность двух высказываний истинна только в тех случаях, когда оба высказывания ложны или оба истинны.
36
Логическое равенство (эквивалентность)
Логическое равенство образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».
пример:
Угол называется прямым тогда, когда он равен 90 градусам.
Обозначим высказывания:
А= Число делится на 3 без остатка.
В= Сумма цифр числа делится нацело на 3.
(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.
Обозначение эквивалентности: А В; А B; А В.
Таблица истинности для эквивалентности
А |
В |
А B |
Смысл высказываний А и В |
Значение высказывания |
|
|
|
|
для указанных значений |
Число кратно трем |
|
|
|
|
|
|
тогда и только тогда, |
|
|
|
|
|
когда сумма его цифр |
|
|
|
|
|
делится нацело на 3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
Число не |
Сумма цифр |
Истина |
|
|
|
кратно трем |
не кратна трем |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
Число не |
Сумма цифр |
Ложь |
|
|
|
кратно трем |
кратна трем |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
Число кратно |
Сумма цифр |
Ложь |
|
|
|
трем |
не кратна трем |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
Число кратно |
Сумма цифр |
Истина |
|
|
|
трем |
кратна трем |
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
Соответствует речевым оборотам
ЭКВИВАЛЕНТНО; РАВНОЗНАЧНО,
НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО ДЛЯ; ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
Обозначение: ; ;
F(A,B)=A B
АВ F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.
ШТРИХ ШЕФФЕРА
равна отрицанию конъюнкции;
ШТРИХ ШЕФФЕРА или логическое "и- не".
Результат этой операции равносилен последовательному применению операций конъюнкции и отрицания.
Соответственно, результирующее высказывание будет ложным, только если входящие в него высказывания одновременно истинны.
40