Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / Лекция2_Отношения

ПРИМЕР

Отношение "быть немного выше ростом".

 Это антисимметричное, но нетранзитивное отношение.

 Петр немного выше ростом Егора.

 Но Иван намного выше ростом Егора.

 Отношения, похожие на отношения порядка, но не обладающие свойством транзитивности, называют отношениями ТОЛЕРАНТНОСТИ

Отношения частичного порядка, то есть рефлексивные, антисимметричные и транзитивные,

на которые накладывают ряд дополнительных свойств, изучаются в рамках раздела математики ТЕОРИЯ РЕШЕТОК

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Пусть A и B - множества.

Определение Выражение вида (a,b), где

называется упорядоченной парой.

Определение Равенство вида (a,b) = (c,d) означает,

что a = c и b =d.

В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку (a1,a2,...,an) из элементов .

Определение Упорядоченные n-ки называют наборы или кортежи.

Определение Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

ПРЯМОЕ ИЛИ ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

 Определение Прямое или декартово произведение

множеств — множество, элементами которого являются

Пусть даны два множества X и Y.

Прямое произведение множества X и множества Y есть такое множество , элементами которого являются упорядоченные пары (x,y) для всевозможных и .

Кортеж - упорядоченный набор элементов.

ПРИМЕР ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

 Для двух множеств

X ={a, b}, Y = {b, c}

декартово произведение

X Y = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)}.

Здесь множество содержит пары элементов, у которых в отличие от множеств порядок строго определен (т.е. их нельзя менять местами).

Чтобы отличить (упорядоченные) пары от множеств, их заключают не в фигурные, а в простые круглые скобки.

Декартово произведение множеств:

nраз

Замечание термин «декартово произведение» Причем же здесь великий французский математик и философ Рене Декарт? Он изобрел координаты, которые так и называются декартовыми. Множество точек плоскости можно рассматривать как прямое произведение координатных осей.

ТЕОРЕМА

Количество всех элементов (т.е. элементарных кортежей) декартова произведения будет равно произведению мощностей всех используемых в этом произведении множеств, т.е.

X Y ... Z = X Y ... Z .

•Пример Заданы множества P = {a, b, c}; Q = {a, d, f} и R = {a, b, c, f},

•то их декартово произведение P Q R

•будет содержать 3 3 4=36 элементарных кортежей.

Замечание Количество элементов в элементарном кортеже

называется размерностью этого кортежа.

ЗАДАЧА ИЗ ГОРОДА А В ГОРОД В ВЕДЕТ ТРИ ДОРОГИ,

А ИЗ ГОРОДА В В ГОРОД С – 4 ДОРОГИ.

СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ДОБРАТЬСЯ ИЗ А В С ЧЕРЕЗ В?

Решение

нужно отделить существенные факторы от несущественных.

если при подсчете способов будем учитывать время суток, скорость и способ перемещения (пешком, на автомобиле, велосипеде и т. п.), то задача становится чрезвычайно простой, при учете указанных факторов ответ задачи: "Имеется бесконечное множество способов".

Если же отвлечься от всех указанных факторов и под способом попасть из А в С через В понимать упорядоченную пару (дорога, по которой перемещаемся из А в В; дорога, по которой перемещаемся из В в С), то

Обозначим:

АВ – множество дорог, ведущих из А в В;

ВС – множество дорог, ведущих из В в С.

Тогда : "Найти число элементов в декартовом произведении АВ×ВС".

|AB×BC| = |AB|·|BC| = 3·4 = 12.

Ответ: 12 способов.

.

Замечание Любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1.

Замечание Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1.

Ключевыми здесь являются два момента:

Все элементы отношения есть однотипные кортежи.

Пример

отношение, состоит из трех кортежей

{(1, "Иванов", 1000), (2, "Петров", 2000), (3, "Сидоров", 3000)} содержатся

данные одного типа.

Множество {(1), (1, 2), (1, 2, 3)}, состоящее из разнотипных числовых кортежей.

Это множество не является отношением