Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / Лекция2_Отношения

Определение Отношение на множестве называется отношением эквивалентности,

если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. обладает следующими свойствами:

ПРИМЕР ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

отношение тождества IX = {(a, a)|a X} на непустом множестве X;

отношение параллельности на множестве прямых плоскости;

отношение подобия на множестве фигур плоскости;

отношение равносильности на множестве уравнений;

отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;

отношение "быть родственниками" на множестве людей;

отношение "быть одного роста" на множестве людей;

отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

Отношения "жить на одной улице", "быть похожими" на множестве людей отношениями эквивалентности не являются, так как не обладают свойством транзитивности.

 Замечание Если на множестве задано отношение эквивалентности, то множество разбивается на взаимно непересекающиеся подмножества, состоящие из эквивалентных друг другу элементов (классы эквивалентности), а между элементами из разных подмножеств отношения отсутствуют.

Замечание Отношение эквивалентности является обобщением отношения равенства: эквивалентные элементы считаются «равными».

Замечание Два элемента связаны отношением эквивалентности, если они имеют одинаковое свойство из множества альтернативных свойств.

ПРИМЕР СИММЕТРИЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ

отношение перпендикулярности на множестве прямых;

отношение касания на множестве окружностей;

отношение "быть похожим" на множестве людей;

отношение "иметь одинаковый пол" на множестве животных.

Отношение "x брат y" на множестве всех людей не является симметричным. В то же время отношение "x брат y" на множестве мужчин симметричным является.

В графе симметричного отношения для каждой дуги из вершины x в вершину y имеется дуга из y в x.

Пример антисимметричных отношений

Отношение "делится" на множестве натуральных чисел является антисимметричным, так как из a b и b a следует, что a = b. Однако на множестве целых чисел отношение "делится" антисимметричным не является.

Отношения "выше", "тяжелее", "старше" антисимметричны на множестве людей. Отношение "быть сестрой" на множестве всех людей антисимметричным не является.

В графе антисимметричного отношения две различные вершины могут быть соединены не более чем одной дугой.

ПРИМЕРЫ ТРАНЗИТИВНЫХ ОТНОШЕНИЙ

отношение "делится" на множестве действительных чисел;

отношение "больше" на множестве действительных чисел;

отношение "старше" на множестве людей игрушек;

отношение "иметь одинаковый цвет" на множестве детских игрушек;

отношение "быть потомком" на множестве людей.

Отношение "быть похожим" на множестве людей не обладает свойством транзитивности.

Свойства отношений (примеры)

Отношение < на множестве целых чисел:

 антирефлексивно;  асимметрично; это отношение строгого линейного порядка;  транзитивно;

Пусть задано некоторое множество A, тогда отношение есть отношение на его булеане 2A.

 рефлексивно;  антисимметрично; это отношение нестрогого частичного порядка;  транзитивно;

Пусть задано некоторое число M, тогда отношение (mod M) есть отношение на множестве целых чисел. Оно:

 рефлексивно;  симметрично; это отношение эквивалентности;  транзитивно;

Отношение | (делит) на множестве натуральных чисел:

 рефлексивно;  антисимметрично; это отношение нестрогого частичного порядка;  транзитивно;

Отношение «взаимно просты» на множестве натуральных чисел:

 антирефлексивно;  симметрично;