Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / Лекция2_Отношения
.pdf
ОТНОШЕНИЯ
Лекция 2
Определение Отношения –способ задания взаимосвязей между элементами множества.
свойства отдельных объектов называются
унарными (одноместными) отношениями,
свойства, относящиеся к парам объектов –
бинарными отношениями,
свойства, относящиеся к наборам из n объектов
- n-арными отношениями
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Бинарное отношение R из множества A в множество B: R A B, R : A B
(a, b) R обычно записывают как aRb
Если A = B, то говорят, что R A A - отношение на A
Замечание Факт принадлежности кортежа (x, y) отношению R,
часто обозначают с помощью инфиксной формы записи: xR y.
Пример
множества A1 = [0,1], = [2,4].
прямое произведение A1×A2 -прямоугольник.
Исходные множества заданы непрерывными
интервалами,
в этом случае декартовым произведением является область, ограниченная соответствующим прямоугольником на плоскости.
Определение Областью определения
бинарного отношения R называется множество
DR x y xRy
• Определение Областью значений бинарного отношения R называется множество
PR y x xRy
ПРИМЕР
Дано - бинарное отношение |
1,2 , 2,4 , 3,3 , 2,1 |
|
DR x y xRy 1,2,3
PR y x xRy 1,2,3,4
Область определения
Область значений
Замечание Так как бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы все понятия, которые вводятся для множеств: понятие равенства, включения, а также операции пересечения, объединения и дополнения
ПРИМЕРЫ ОТНОШЕНИЙ
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
Отношения могут задаваться:
формулой
• y = x2 +5x - 6 - бинарные отношения на множестве действительных чисел;
формула x + y = любовь -бинарное отношение на множестве людей.
•- матричным представлением
•Определение Матрицей бинарного отношения – называется матрица размера
m n |
Р рij |
|
|
1 , ai , bj P |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
, bj P |
|
|
|
|
0 , ai |
|
|
|
|
|
|
|
•графическое представление элементы множества X изображаются
•вершинами графа (точками плоскости), а элементы (x, y) отношения a
дугами (стрелками),соединяющими первую компоненту x отношения со
второй компонентой y.
ПРИМЕР
М 1, 2, 3, 4, 5, 6
задать отношение R M M быть строго меньше
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
|
a, b |
|
|
a, b M , a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
1, 2 |
|
, 1, 3 |
|
, 1, 4 |
|
, 1, 5 |
|
, 1, 6 |
|
, 1, 2 |
|
, 1, 3 |
|
, 1, 4 |
|
, 1, 5 |
|
, 1, 6 |
|
, |
|
|||||
|
2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 , 3, 4 , 3, 5 , 3, 6 , 4, 5 , 4, 6 , 5, 6 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
матрица бинарного отношения |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примеры отношений
Пусть N – множество натуральных чисел; < - отношение «меньше» на N. Тогда можно писать 3 < 5 или (3, 5) <
N
k 
...
2 
1 
1 2 3 |
... n |
... |
N |
|
Пусть | |
- отношение «делит» на N.: a | b, если b делится на a. |
Например, |
3 | 12, 5 | 5, 1 | k для любого k. |
Отношение на дискретном множестве A можно изображать в виде графа, например,
отношение «делит» на множестве { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } может быть изображено в виде:
5 
6
2 3
1
Операции над отношениями
Над отношениями можно выполнять все теоретико-множественные операции, поскольку каждое отношение – это некоторое множество.
Пусть на множестве натуральных чисел N заданы отношения «меньше» (<), «равны» (=) и «делит» (|). Тогда можно рассмотреть следующие отношения:
< = |
- в результате получается отношение |
|
< | |
- в результате получается отношение «делит, но не равно» |
|
| \ = |
- в результате также получается отношение «делит, но не равно» |
|
|
|
(дополнение до N x N) - в результате получается отношение |
< |
|
|
Две специфические операции над отношениями:
1.Если R1 : A B, а R2 : B C, то отношением R2 R1 (композиция R1 и R2)
будет называться отношение R = R2 R1, R : A C, R = { (a, c) | b B: (a, b) R1, (b, c) R2 }
2.Если R : A B, то отношением R-1 (обратное к R отношение) будет называться отношение R-1 : B A, R-1 = { (b, a) | (a, b) R }
Например: |
|
| < |
a (| <) b, если найдется c такое, что a < c и c | b. |
|
Это верно для любых a < b, поэтому (| <) = (<) |
<-1 |
a (<-1) b, если b < a, поэтому (<-1) = (>) |