Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / множество_лекция 1
.pdf
Число элементов множества и число
подмножеств данного множества
Обозначим n(А) число элементов в множестве А
31
Геометрическое моделирование множеств
Для наглядного представления множеств используется диаграммы Венна
(иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).
Геометрически множества обычно изображаются как некоторые подмножества точек плоскости, множества представляются в виде кругов, в которых
|
заключены все элементы данного множества. |
|
На рис. 1 изображено универсальное множество U |
|
и два его подмножества - множества А и В, B A. |
Определение Геометрическое изображение множества в виде кругов называются диаграммами Эйлера-Венна.
32
Пример
33
Сравнение бесконечных множеств
Даны два множества
N={1, 2, 3, 4, …} и D={2, 4, 6, 8,…}.
В каком множестве больше элементов?
Ответ в этих множествах бесконечное число элементов, так что сосчитать Вы
никак не могли”.
34
Даны 2 отрезка: На каком отрезке больше точек?
И так же ответ “Конечно, на CD, ведь он длиннее”,
так же возразить “Неужели Вы сосчитали точки?”
Поэтому встает проблема сравнения двух множеств по числу элементов не считая их
35
Определение Правило, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие элемент множества В, причем так, что каждому элементу множества В оказывается поставленным в соответствие один и только один элемент множества А называется взаимно-однозначным
соответствием между множествами А и В.
Определение Если между множествами А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны по числу элементов (или: “имеют одинаковое число элементов”; или “имеют одинаковую мощность.
36
Рассмотрим множества
N={1, 2, 3, 4, …} и D={2, 4, 6, 8,…}.
В каком множестве больше элементов?
между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
n |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
2 |
4 |
6 |
8 |
… |
2n |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
И поэтому, в этих множествах одинаковое
число элементов
Замечание Четных чисел столько же, сколько и всех натуральных!
37
Пример
Одинаковое ли количество точек на отрезке и в квадрате?
Георг Кантор доказал, что в квадрате столько же точек, сколько и в отрезке.
Y 
1
(x;y)
0,823075... 
|
0,547814... |
|
|
|
0,584273801745... |
X |
|
0 |
1 |
||
|
точек в квадрате не больше, чем точек на отрезке, но и не меньше, поэтому мощности совпадают.
38
В отношении двух отрезков вопрос также решается очень просто. Получим, что между точками отрезков АВ и CD установлено взаимнооднозначное соответствие.
Таким образом, на этих
двух отрезках одинаковое число точек 
В чем же была ошибка? Она была в том, что на
бесконечные множества были перенесены свойства конечных множеств.
39
Теорема Кантора.
Для каждого множества A можно рассмотреть множество всех его подмножеств - булеан исходного множества и обозначается 2A.
Теорема: Если множество A – конечно, то мощность булеана равна
|2A| = 2|A|.
Теорема (Г.Кантор): Если множество A – счетно, то мощность булеана больше мощности счетного множества
|2A| > |A|.
Теорема (Г.Кантор): Для любого множества A мощность его булеана больше мощности самого множества:
|2A| > |A|.
Определение Пусть А и В - два произвольных множества. тогда
для любых двух множеств, верно, что: либо они равномощны, либо одно из них более мощно, чем другое
40