Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / множество_лекция 1

Задание множества характеристическим

предикатом

- часто применяемая форма, означает указание свойств элементов множества.

Определение Характеристический предикат- условие, выраженное в форме логического утверждения, проверяющее принадлежит ли любой данный элемент множеству.

Пример

A = {x| x ≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию x ≤ 4.

Пример

А={2; 4; 6; 8}, то элементами этого множества являются числа 2, 4, 6, 8, а их характеристическим свойством то, что они натуральные, однозначные и четные числа.

В общем случае можно записать А={х | ...}, где после вертикальной черты указывается свойство элементов данного множества.

A = {a a – простое число} – множество простых чисел;

21

Примеры задания множеств

«Студенты Петров, Иванов, Сидоров могут сдавать экзамен» - множество задается списком

«Студенты Петров, Иванов, Сидоров, успешно сдавшие зачеты, могут сдавать экзамен» - множество задается при помощи общего признака.



22

Задание множества описанием

Описание, включает основной, характеристический признак множества.

При задании множества описанием возможны трудности:

а) два разных описания могут задавать одно и то же множество;

б) неоднозначность,

Пример

 множество всех деревьев на Земле. А включать ли в него уже спиленные деревья?

 Задание множества перечислением его элементов -

наиболее простая форма задания множества

23

Задание множеств порождающей

процедурой

Определение Порождающая процедура –

процедура, которая порождает объекты, являющиеся элементами определяемого множества.

A = {x| x=функция}

 Замечание Перечислением можно задать только конечные множества, а бесконечные задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.

24

Основные определения

Определение Если все элементы множества А являются элементами множества В и наоборот, т. е. множества А и В совпадают, то говорят, что

А= В.

Определение Если каждый элемент множества является также и элементом другого множества , то

говорят, что множество является подмножеством множества : Обозначается .

Замечание по определению само множество А является своим подмножеством, т.е. А А.

Замечание Если А В и В А, то по ранее введенному определению А = В.

Включение множеств

1. Вхождение или включение множеств.

Говорят, что множество А входит в множество В (обозначение А В )

или множество В включает множество А, если из того, что некоторый элемент

а A следует, что a В

Пример. Пусть А, В, С - подмножества множества N:

А={1, 2, 6, 18}; В={6, 1, 18}; С={2, 18, 6, 1} В этом случае А = С; C A и A C,

B A.

Свойства включения

Замечание

Пустое множество – подмножество любого множества. А

29

Основные определения теории множеств

Определение Булеан - множество всех подмножеств, включая как само это множество, так и пустое множество.

Замечание Булеан конечного множества конечен.

Замечание Добавление нового элемента удваивает число подмножеств .

30