Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / множество_лекция 1

Подмножество

Определение Если каждый элемент множества В является также и элементом множества А , то говорят, что множество В является

подмножеством множества А:

Замечание по определению само множество А является своим подмножеством, т.е. А А.

Замечание Если А В и В А, то А = В

Замечание Любое множество является подмножеством своего универсума, поскольку содержит только элементы универсума

Замечание Так, например, число 23 является элементом множества натуральных чисел , но не является его подмножеством, а множество, содержащее единственный элемент 23 (обозначают {23}), является подмножеством , но не его элементом.

11

Пример

А={2, 6, 15} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15).

B = {1, 2, …, n, …} – бесконечное множество

Множества могут быть конечными и бесконечными.

Пример Пусть А – множество четных чисел, В – множество целых чисел, С – множество нечетных чисел.

Тогда А В, С В, А С, В А.

Замечание Не надо смешивать отношение принадлежности

( ) и отношение включения ( ).

Пример Пусть А = {2} ,В = {{2}, {4}}. Тогда имеют место :

2 {2}; {2} {{2}, {4}};

2 {{2}, {4}}.

12

Замечание Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества).

Замечание Пустое множество является подмножеством любого множества

(это самое "узкое" подмножество).

Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами.

13

Определение Если элементами множества являются числа, то множество называется числовым множеством.

Определение Непустое множество А называется конечным, если можно указать фиксированное число n, что количество элементов множества А меньше n.

Определение Множество не являющееся ни пустым, ни конечным называется

бесконечным.

14

Множество и его мощность

•Множество состоит из элементов.

•Множество может быть конечным или бесконечным.

Определение Мощность конечного множества – число его элементов.

. Обозначается

|M|, card M - обозначения для мощности множества

.

• Множества можно сравнивать по «мощности».

Мощность конечного множества -количество его элементов,

Мощность любого конечного множества всегда меньше мощности бесконечного множества.

.

15

Сравнение мощностей.

Два множества называются равномощными, если существует взаимнооднозначное соответствие между элементами первого и второго множеств.

|A| = |B| - множества A и B – равномощны.

Определение: Конечные множества A и B равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число элементов. Это число называется мощностью конечного множества.

N - множество всех натуральных чисел и нуля

E - множество всех четных неотрицательных чисел

Множество M бесконечно тогда и только тогда, когда оно равномощно своему собственному подмножеству: A M, A M, |A| = |M|. Можно считать это определением бесконечности.

Определение: Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N.

Определение: |A| < |B|, если |A| |B|, но существует C B такое, что |A| = |C|.

.

16

Парадоксы

связаны с попытками обосновать справедливость математических доказательств, с исследованиями теории чисел.

Парадокс лжеца

По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит?

Современная форма этого парадокса: «Некто говорит: ’’я лгу’’.

Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и , следовательно он не лжет.

Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и следовательно, он лжет.

В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно.»

17

Парадоксы «наивной» теории множеств.

«Парадокс самопринадлежности»

Назовем множество «правильным», если оно не содержит самого себя в качестве элемента. Правильно ли множество всех правильных множеств?

Пусть M = { X | X X }

Тогда: M M M M; M M M M

Пример

Множество всех ложек - это не ложка, значит, множество не является своим же элементом.

Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем

обычными

Способы преодоления парадоксов.

Ограничиться только «конструктивно порождаемыми» множествами.

Ограничиться только подмножествами хорошо известных «универсальных» множеств.

18

«Парадокс брадобрея»

Брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами.

Бреет ли брадобрей себя самого?

Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить.

Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя.

этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Рассуждение опирается на допущение, что такой парикмахер существует.

Противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами.

Парадокса Рассела можно избежать, если, ограничить рассматриваемые множества .

19

Способы задания множеств

Чтобы задать множество, нужно указать какие элементы ему принадлежат

• Конечное множество можно задать перечислением его элементов.

Не все множества можно задать

•Множество можно задать предикатом (характеристической функцией)

{x | x - четно} – множество четных чисел

{f | f : N N} – множество функций из N в N, где N – множество натуральных чисел

• Конечное или счетное множество можно задать алгоритмом порождения.

{f1 = f2 = 1; fn+2 = fn + fn+1} – множество чисел Фибоначчи

20