Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / множество_лекция 1

Лекция 1 Дискретная математика

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Доцент Старожилова О.В.

1

Создатель теории множеств Кантор - Георг Фердинанд Людвиг Филипп

(1845-1918) нем.математик

2

Основатели теории множеств

Бернард Больцано — чешский математик, философ и теолог

(1781 -1848) рассмотрел произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определил понятие взаимно-

однозначного соответствия в работе «Парадоксы бесконечного»

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством».

3

Наивная теория множеств

Натуральное число, по Кантору, -множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество.

Аксиоматическая теория множеств

множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики.

Множество не обладает внутренней структурой.

4

Основные понятия теории множеств

В основе лежат первичные понятия:

множество

быть элементом множества

Среди производных понятий наиболее важны следующие:

пустое множество;

подмножество ;

семейство множеств;

пространство (Универсум);

конституента.

5

Элементы теории множеств

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения.

Пример Следующие совокупности объектов являются множествами:

множество деревьев в лесу,

множество целых чисел,

множество корней уравнения sin x = 0.5.

Множество не обладает внутренней структурой. Всякое множество состоит из элементов.

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, например, A, B, C и т.д. а их элементы - малыми: а, в, с…

6

Определение множество в математическом смысле

Множество - совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством.

Множество– это совокупность однозначно определенных (математических) объектов (элементов множества).

Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.

2. Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга.

(Это означает, что множество не может содержать двух

одинаковых элементов).

7

Обозначения и понятия теории

А= {a1, a2, a3} – множество, состоящее из трех элементов;

А= {a1, a2, …} – множество, состоящее из бесконечного числа элементов

множество А = {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2; множество {А} состоит из одного элемента А

8

Пример

Совокупность {1, 2, 3, 4, 5, 6} - множество и оно неотличимо от множества {1, 3, 5, 2, 4, 6}, поскольку порядок элементов не играет роли.

Совокупность {1, 2, 3, 1, 3, 5} множеством не будет, т.к. неразличимы элементы, стоящие в записи на третьем и пятом месте (элемент 3), так же, как и элементы на первом и четвёртом месте (элемент 1).

9

Основные определения теории множеств

Определение Универсальное (единичное) множество U - множество,

для которого любое данное множество является подмножеством или множество, в которое входят все, рассматриваемые множества

 Пример

Если говорим о воробьях и синицах, то универсальным множеством будет множество птиц.

Определение Пустое множество- множество, в котором нет ни одного элемента.

Знаком будет обозначается пустое множество.

Пример Множество корней уравнения sinx = 2 является пустым.  Замечание А, где А – любое множество.

Таким образом, всякое множество содержит в качестве своих подмножеств пустое множество и само себя.

10