Декартово произведение множеств

В математике достаточно часто приходится иметь дело не только с отдельными элементами какого-либо множества, но и с упорядоченными парами его элементов. Используя две цифры 3 и 5 можно записать 4 числа, важен порядок следования цифр или упорядоченный набор.

• Определение Пусть и - множества. Выражение вида , где и , называется упорядоченной парой. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку из элементов или набор или кортеж.

• Определение. Два кортежа равны между собой, т.е. (a₁,...,a_n) = (b₁,...,b_n) тогда и только тогда, когда для любого i выполнено равенство a_i = b_i.

• Пример. (a,a,b)  (a,b,a); (a,2)  (a,2,2).

• Определение Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество кортежей вида

декартовым произведением этих множеств является совокупность всех возможных n‑местных элементарных кортежей, у которых на первом месте стоит элемент множества , на втором – элемент множества , ..., а на последнем – элемент множества .

• Пример декартовых произведений.

Для двух множеств X ={a, b}, Y = {b, c} декартово произведение

XY = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)}.

Здесь множество содержит пары элементов, у которых в отличие от множеств порядок строго определен (т.е. их нельзя менять местами). Чтобы отличить (упорядоченные) пары от множеств, их заключают не в фигурные, а в простые круглые скобки.

• Замечание XY  Y X

• Определение Степенью декартового произведения называется число n множеств, входящих в это декартово произведение.

• Замечание. Если все множества одинаковы, то используют обозначение

• Замечание термин «декартово произведение» Причем же здесь великий французский математик и философ Рене Декарт? Он изобрел координаты, которые так и называются декартовыми. Множество точек плоскости можно рассматривать как прямое произведение координатных осей.

• Определение Множество элементарных кортежей одной и той же размерности n называют многоместным или n-местным отношением.

• Пример отношение "меньше" для множества {1, 2, 3} целых чисел можно представить как множество пар чисел {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}

• Теорема Количество всех элементов (т.е. элементарных кортежей) декартова произведения будет равно произведению мощностей всех используемых в этом произведении множеств, т.е.

XY...Z=XY ... Z.

• Пример Заданы множества P = {a, b, c}; Q = {a, d, f} и R = {a, b, c, f}, то их декартово произведение PQR будет содержать 3 3 4=36 элементарных кортежей.

Задача Из города А в город В ведет три дороги, а из города В в город С – 4 дороги. Сколькими способами можно добраться из А в С через В?

Решение

Задача первоначально формулируется не как математическая, а как задача реальной жизни, и поэтому требуется ее переработка в математическую задачу. При этом нужно отделить существенные факторы от несущественных.

Действительно, если при подсчете способов мы будем учитывать время суток, скорость и способ перемещения (пешком, на автомобиле, велосипеде и т. п.), то задача становится чрезвычайно простой, при учете указанных факторов ответ задачи: "Имеется бесконечное множество способов".

Если же отвлечься от всех указанных факторов и под способом попасть из А в С через В понимать упорядоченную пару (дорога, по которой перемещаемся из А в В; дорога, по которой перемещаемся из В в С), то решение задачи можно получить, используя понятие декартова произведения. Обозначим:

АВ – множество дорог, ведущих из А в В;

ВС – множество дорог, ведущих из В в С.

Тогда математическая задача, к которой свелась исходная задача, выглядит так: "Найти число элементов в декартовом произведении АВ×ВС".

|AB×BC| = |AB|·|BC| = 3·4 = 12.

Ответ: 12 способов.

• Замечание Любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1.

• Замечание Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1.

Ключевыми здесь являются два момента:

1. Все элементы отношения есть однотипные кортежи.

• Пример

отношение, состоит из трех кортежей

{(1, "Иванов", 1000), (2, "Петров", 2000), (3, "Сидоров", 3000)} содержатся данные одного типа.

Множество {(1), (1, 2), (1, 2, 3)}, состоящее из разнотипных числовых кортежей. Это множество не является отношением ни в , ни в , ни в .

2. Отношение включает в себя не все возможные кортежи из декартового произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие - нет.

• Определение Кортеж принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат этого отношения принимает значение "истина".