Матрица инцидентности и матрица смежности

На рис. 1,2 изображено множество точек и множество линий , соединяющих эти точки, которые все вместе образуют граф . Если линии имеют стрелки, то граф называется ориентированным или орграфом (рис. 2).

Рис. 1. Граф . Рис. 2. Орграф .

Графы и можно представить в аналитической форме либо матрицей смежности , либо матрицей инцидентности .

Для нашего конкретного неориентированного графа матрицы и выглядят следующим образом:

Матрица смежности для неориентированного графа всегда симметрична.

Фигурирующая в ней 2 может быть в некоторых случаях заменена на 1.

В матрице инцидентности сумма единиц по столбцам указывает на степень вершины v_i. Нередко расположение вершин и ребер в этой матрице меняют местами (транспонируют). Так, для нашего конкретного орграфа матрицы и выглядят существенно иначе:

В общем случае матрица смежности для ориентированного графа уже не будет симметричной. В матрице инцидентности ставится 1, если дуга исходит из вершины, и —1, если дуга заходит в нее.

Матрица смежности и матрица инцидентности

Есть два стандартных способа представить граф G = (V, E) 

• – как набор списков смежных вершин

• как матрицу смежности.

Первый обычно предпочтительнее, ибо дает более компактное представление разреженных графов – тех, у которых |E| много меньше |V|².

Большинство стандартных алгоритмов используют именно это представление. Но в некоторых ситуациях удобнее пользоваться матрицей смежности – например, для плотных графов, у которых |EG| сравнимо с |VG|².

Матрица смежности позволяет быстро определить, соединены ли две данные вершины ребром. Алгоритмы отыскания кратчайших путей для всех пар вершин, используют представление графа с помощью матрицы смежности.

• Определение Матрицей смежности графа G = (V, E) называется квадратная булева матрица A порядка n, элементы которой определяются следующим образом:

Свойства

1. А – симметрическая матрица

2. На главной диагонали матрицы смежности всегда стоят 0.

3. Число единиц в строке равно степени соответствующей вершины.

Матрицей инцидентности графа G называется булева матрица размера |V|´|G| вида

Свойства:

1.   В каждом столбце матрицы ровно две единицы

2. Равных столбцов нет.

Например, на следующем рисунке граф задан графически, списком смежных вершин, матрицей смежности и матрицей инцидентности.

графически	список смежных вершин     номер вершины степень вершины         1 2 2 5     2 4 1 3 4 5 3 2 2 4     4 3 2 3 5   5 3 1 2 4
матрица смежности   1 2 3 4 5 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 1 1 3 0 1 0 1 0 4 0 1 1 0 1 5 1 1 0 1 0	матрица инцидентности e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 1 1 1 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 1 1 0 3 0 0 0 0 0 1 1 4 0 0 0 1 1 0 1 5 1 0 1 1 0 0 0

Рассматриваются также графы с нагруженными ребрами или взвешенные – графы, у которых каждому ребру поставлено в соответствие некоторое вещественное число – вес или нагрузка ребра.

Такой граф можно задать матрицей расстояний – квадратной матрицей размера |V|´|V|, где на пересечении i-ой строки и j-го столбца записан вес ребра (i, j), если ребро есть, ¥, если ребра нет и 0, если i = j.