11.Особенности расчета валов с несколькими массами. Понятие о точном методе расчета критических скоростей. Приближенные методы.

Если вал представляет собой многомассовую систему, состоящую, например, изnсосредоточенных масс,то он имеет n собственных угловых скоростей (частот) и, в простейшем случае,nкритических скоростей.

Следовательно, задача определения критической скорости вала, нагруженного несколькими сосредоточенными массами, сводится к определению частот его собственных колебаний. Если сосредоточенных масс более двух, то точное решение такой задачи очень сложно.

В практических случаях часто приходится сталкиваться с необходимостью определения частоты собственных колебаний систем, имеющих несколько степеней свободы.

Представим балку, находящуюся под действием нескольких сил P₁; P_2; P₃ … при

Рисунок 9.10 – Схема балки под действием нескольких сил

Перемещение при деформации балки в месте приложения и по направлению действия каждой из этих сил обозначим y₁; y₂; y_i; y_k.

Пусть – единичный прогиб в направлении действия силы P_i от силы . По теореме взаимности перемещений

, (9.30)Где – единичный прогиб в направлении действия силы P_kот.

Рисунок 9.11 – Схема единичного прогиба балки

Из курса сопротивления материалов известно, что прогиб можно выразить как функцию сил;;;…. При этом под действием нагрузки только P_k точка i прогнётся на (рисунок 9.10). Следовательно, в общем случае под действием всех сил точка i прогнётся на

. (9.31)

По аналогии прогибы в направлении действия сил;;;…от всех сил, приложенных одновременно, можно выразить следующим образом

(9.32)

Точный метод определения критических частот вала.

Рассмотрим вал с двумя дисками при . Пусть m₁ и m₂ - массы дисков; е₁ и e₂ - эксцентриситеты их центров относительно оси вала; y₁ и y₂ – упругие прогибы при рабочей скорости (рисунок 9.12, схема б).

Рисунок 9.12 – Схема прогиба вала с двумя грузами

при(схема а) и(схема б)

При вращении на вал действуют центробежные силы

; (9.33)

. (9.34)

В соответствии с (9.32) можно записать

(9.35)

Подставим значение сил в (9.35)

(9.36)

Раскроем скобки и систему уравнений (9.36) перепишем следующим образом:

(9.37)

Сгруппируем и введем обозначение членов уравнения и

(9.38)

Полученные уравнения представляют систему из двух неоднородных уравнений с двумя неизвестными. Эти уравнения удобно решить с помощью определителей. Каждое решение может быть представлено в виде дроби, знаменателем которой является определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а числитель – тот же определитель, в котором коэффициенты при искомом неизвестном заменены свободными членами A₁ и A₂ , то есть;

. (9.40)

Как было сказано ранее резонанс наступает тогда, когда прогибы стремятся к бесконечности, то есть . Это происходит в том случае, когда определитель, стоящий в знаменателе равен нулю, то есть

. (9.41)

Раскроем определитель

. (9.42)

Полагая и, выразив составляющие прии U в виде коэффициентов а и b, получим следующее квадратное уравнение

, (9.43)

, (9.44)

Решение этого квадратного уравнения имеет вид

, (9.45)

При критические скорости равны:

(9.46)

Прирешение не имеет смысла.

Когда число масс, то есть число степеней свободы 4 и больше, то решить систему уравнений без ЭВМ невозможно (– коэффициенты влияния.Они определяются любым методом – графическим, по правилу Верещагина и т.д.)

Приближенные методы определения критической угловой скорости вала с несколькими сосредоточенными массами

На практике обычно в таких случаях используются приближенные методы расчета критических угловых скоростей , которые считаются простыми дающими в то же время достаточно точные результаты. По этим методам определяют первую (низшую, наименьшую, основную) критическую угловую скорость. При этом для жесткого вала рекомендуют, чтобыне превышала 0,75 – 0,80 его минимальной критической скорости, а для гибкого – не совпадала ни с одной из других критических скоростей и была в 1,3 – 1,4 раза больше ближайшей большей критической скорости, то есть условие виброустойчивости имеет вид:

(8)

Валы быстроходных машин обычно проектируются как жесткие, реже применяются гибкие валы, работающие между первой и второй критическими скоростями Рисунок 10.

Метод Донкерли

В методе Донкерли используется принцип независимости воздействия отдельных масс на колебания вала (принцип суперпозиции). Формула Донкерли, по которой определяется наименьшее возможное значение основной частоты , может быть представлена в следующем виде:

, (9)

где – критическая угловая скорость вала, когда он нагружен только одним грузом массойm_i;

– статический прогиб вала под массойm_i, когда он нагружен только этой массой (рисунок 11);

i– число масс на валу.

Метод Донкерли дает заниженное значение . Однако во многих случаях практики достаточно констатировать, что критическая частота вала не ниже определенного предела, чтобы сделать излишним более точное решение.

Рисунок 11 – Расчетная схема и первая (низшая) критическая скорость вала, нагруженного тремя сосредоточенными массами, определяемая по методу Донкерли.

по таблице для однопролетного и консольного валов на неподатливых подшипниках представлены значения коэффициентов , подстановка которых в формулу (10) позволит определить, а, следовательно, и проверить условие виброустойчивости (8).

Энергетический метод Релея

В основе энергетического метода лежит принцип постоянства энергии, согласно которому максимальная потенциальная энергия деформации при вращении вала равна максимальной кинетической энергии системы, то есть.

После раскрытия данного равенства получено одно из выражений для расчета нижней критической частоты

, (11)

где – статический прогиб вала под грузом массой, нагруженного всеми нагрузками (рисунок 12).

(12)

Рисунок 12- Расчетная схема и первая (низшая) критическая скорость вала, нагруженного тремя сосредоточенными массами (метод Релея).

Критическая частота, получаемая по методу Релея, всегда выше действительной частоты ( т.е частоты, найденной точным методом).. Действительная частота находится между частотой, определенной по формуле Донкерли и частотой, найденной по методу Релея, то есть:

. (13)

Рассмотренные выше методы определения первой критической скорости вращения валов, в которых прогибы рассчитываются аналитически, просты и удобны в случае валов постоянного сечения и с небольшим числом нагрузок.

При расчете балок переменного сечениясо многими сосредоточенными массамиможет быть определена этими же методами, то есть по формулам (11) и (12), но в которых прогибы находятсяграфо-аналитически.

Методы в этом случае называются графо-аналитическими.

В литературе приводится еще ряд методов для расчета валов переменного сечения. В практике химического машиностроения получил распространение так называемый метод приведения, основанный на исследованиях академика Ю. А. Шиманского /4/, который является достаточно простым, точным и универсальным, так как может быть применен как при расчете валов переменного, так и постоянного сечения, с одной или несколькими сосредоточенными массами, с учетом или без учета массы вала.