• Объёмная плотность энергии упругой и электромагнитной волны.

1.Упругая волна — это механическая волна, при распространении которой в среде возникают колебания частиц, связанные с кинетической и потенциальной энергией упругой деформации.

Для плоской продольной гармонической упругой волны с перемещением частиц среды ξ(x,t)=Аcos(ωt−kx+φ) объёмная плотность энергии w складывается из кинетической и потенциальной частей:

где ρ — плотность среды, E — модуль упругости (модуль Юнга), ε= ∂ξ/∂x  — относительная деформация.

Для гармонической волны среднее по времени значение плотности энергии:

2. Электромагнитная волна несёт энергию, которая хранится в электрическом и магнитном полях. Объёмная плотность энергии электромагнитного поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:

где E и H — амплитуды напряжённостей электрического и магнитного поля, ε0 и μ0 — электрическая и магнитная постоянные.

В вакууме ε=μ=1, и поскольку для плоской электромагнитной волны амплитуды связаны соотношением E=ηH, где η=sqrt(ε0/μ0)≈377 Ом, то плотность энергии можно выразить через амплитуду электрического поля:

• Вектора Умова и Пойнтинга.

1) = w _г - Умова.

2) Если за поток энергии принять Ф = - количество энергии, переносимое за ед. времени через некоторую площадку то плотностью потока энергии является П = - Пойнтинга (со направлен υ_гр).

3) В вакууме _г = _ф = и , значит

= ε_oε = = [ ] – П-У.

• Интенсивность электромагнитной и звуковой волны.

Интенсивность ЭМВ — это скалярная величина, равная средней за период энергии, переносимой волной через единичную площадь, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени.

Величина I (Вт/м2), определяющая среднее значение модуля в. Пойнтинга

I = = E_m H_m

Интенсивность звуковой волны — это средняя по времени мощность звуковой энергии, проходящая через единичную площадь, перпендикулярную направлению распространения звука.

I=⟨p(t)⋅u(t)⟩=E/St

• p(t) — мгновенное звуковое давление,

• u(t) — мгновенная скорость частиц среды в направлении распространения звука

• Соотношение неопределённости для волн.

Для координаты x и проекции импульса p справедливо неравенство:

Для волнового пакета с набором волн с частотами ω(k) и волновыми числами из интервала k - k, k + k, описываемого функцией

Ψ (x,t) = (k) cos [ω(k)∙t – kx] dk

амплитуда превращается в нуль, когда сдвиг по фазе каждой волны относительно волны суперпозиции достигает .

Значения огибающей пакета за пределами

/ k будут незначительными.

k_x ,

k_y ,

k_z

Чем меньше область локализации пакета, тем больше разброс волновых чисел и наоборот.

теорема о ширине полосы частот: уменьшение временной длительности пакета ( t) приводит к расширению частотного спектра гармонических волн, формирующих заданный импульс.

При нормальной дисперсии волны с более высокими частотами распространяются с меньшими фазовыми скоростями, что приводит к размытию пакета.

• Понятие волнового пакета и групповой скорости.

Волновой пакет — это ограниченная во времени и пространстве формация, образованная суммой множества гармонических волн с близкими значениями частот и волновых чисел. В отличие от гармонической плоской волны, которая распространяется по всему пространству, волновой пакет занимает конечную область пространства и описывает локализованное возмущение.

Групповая скорость v_гр — это скорость перемещения центра волнового пакета, то есть скорость распространения огибающей группы волн.

• В случае отсутствия дисперсии (когда ω линейно зависит от k), групповая скорость совпадает с фазовой скоростью и волновой пакет не изменяет форму при распространении.

• При наличии дисперсии групповая скорость отличается от фазовой, и волновой пакет со временем расплывается.

υ_г = υ_ф + k

υ_г = υ_ф – λ