2 курс / Анализ данных / Методические рекомендации по подготовке к контрольной работе (ТВиМС)

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финансовый университет)

Департамент математики

В.И. Глебов, С.Я. Криволапов, К.Г. Левченко

Учебное пособие

«Анализ данных: Теория вероятностей»

для подготовки к контрольной работе по дисциплине «Анализ данных»

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки

38.03.01«Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»,

39.03.01«Социология» (все профили)

Москва 2020

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финансовый университет)

Департамент математики

В.И. Глебов, С.Я. Криволапов, К.Г. Левченко

Учебное пособие

«Анализ данных: Теория вероятностей»

для подготовки к контрольной работе по дисциплине «Анализ данных»

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки

38.03.01«Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»,

39.03.01«Социология» (все профили)

Рассмотрено и одобрено на заседании Совета департамента Математики (протокол №1 от 6 октября 2020г.)

Москва 2020

2

УДК 517(075.8) ББК 22.17я73 Г 53

Авторы: Глебов В.И., канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

Криволапов С.Я., канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

Левченко К.Г., канд. физ.-мат. наук, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

Рецензент: Баюк О.А., канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

Анализ данных: теория вероятностей Учебно-методическое пособие для организации самостоятельной работы студентов при подготовке к контрольной работе по дисциплине «Анализ данных» в первом семестре (теория вероятностей) для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 39.03.01 «Социология» (все профили). − М.: Финансовый университет, департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, 2020. − 40 с.

В учебном пособии представлен материал контрольной работы по разделу «Теория вероятностей». Приведены необходимые для решения задач теоретические сведения, рассмотрены возможности использования некоторых функций Excel и R.

УДК 517(075.8) ББК 22.17я73

Учебное издание

Глебов Владимир Ильич Криволапов Сергей Яковлевич Левченко Кирилл Геннадиевич

Анализ данных: Теория вероятностей

Учебное пособие для подготовки к контрольной работе по дисциплине «Анализ данных»

Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman Усл. п.л 2,5. Изд. № - 2020.

Электронное издание

©ФГОБУ ВО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 2020.

©Департамент математики, 2020

©Глебов Владимир Ильич, 2020

©Криволапов Сергей Яковлевич, 2020

©Левченко Кирилл Геннадиевич, 2020

3

Содержание

4

Основные формулы комбинаторики

Количество всех перестановок n элементов вычисляется по

формуле: = !.

В Excel число перестановок вычисляется по формуле:

Факториал числа n, ! = ФАКТР(n)

В R число перестановок вычисляется по команде:

(в произведении всегда m сомножителей).

В Excel число размещений вычисляется по формуле:

= ПЕРЕСТ( ; ),

А в R с помощью команды произведения чисел

< − prod(( − + 1): ).

Число способов выбора m элементов из совокупности в n элемен-

тов (без учета порядка) вычисляется по формуле числа сочетаний:

В Excel число сочетаний вычисляется по формуле:

= ЧИСЛКОМБ(; ).

А в R по команде: < − choose( , ).

5

1. Классическое определение вероятности

Результат испытаний (элементарный исход) называется благо-

приятствующим событию, если появление этого исхода влечет появ-

ление события.

Классическое определение вероятности события A:

( ) = ,

где N – общее число исходов, M – число исходов, благоприятствующих событию A.

Пример 1. Подбрасываются 2 игральных кубика. Найти вероятность того, что максимальное из выпавших чисел больше 4.

Решение 1. Общее число исходов при подбрасывании двух кубиков: = 36. Найдем число благоприятствующих исходов M.

Если на первом кубике выпадет число 5 или 6, то на втором может выпасть любое число. Количество вариантов: 2 ∙ 6 = 12. Если на первом кубике выпадают числа от 1 до 4, то на втором кубике должно появиться число 5 или 6. Количество таких вариантов: 4 ∙ 2 = 8. Общее число благоприятствующих вариантов: = 12 + 8 = 20.

По классической формуле вероятности искомая вероятность равна

Решение 2. Рассмотрим событие, противоположное искомому — когда на обоих кубиках выпадут числа, не превосходящие 4. Таких событий − = 42 = 16 . Поскольку общее число исходов при подбрасывании двух кубиков: = 36, то = 36 − 16 = 20.

По классической формуле вероятности, искомая вероятность равна

6

Пример 2. В группе из 12 деталей – 3 детали бракованные. Для проверки случайным образом выбрали 5 деталей. Чему равна вероятность того, что среди отобранных деталей будет 1 бракованная и

4 годных?

Решение. Используем классическую формулу вероятности. Общее число исходов – это число способов выбора 5 деталей из имеющихся

Благоприятствующее число исходов – число способов выбора одной бракованной из трех бракованных деталей и четырех годных из

Число сочетаний можно вычислить в Excel, используя функцию

ЧИСЛКОМБ(n; k).

125 = ЧИСЛКОМБ(12; 5) = 792; 31 = ЧИСЛКОМБ(3; 1) = 3;94 = ЧИСЛКОМБ(9; 4) = 126.

В R используется команда choose.

Искомая вероятность: = = 378792 = 0,4772727.

В R используется команда choose:

P <- choose(n=9, k=4)*choose(3, 1)/choose(12, 5); P [1] 0.4772727

Пример 3. В партии 100 изделий, из которых шесть имеют дефекты. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Найдите вероятности следующих событий: а) все бракованные изделия достанутся одному потребителю;

б) бракованные изделия достанутся обоим потребителям поровну.

7

Решение.

Общее число вариантов – сколькими способами можно выбрать 50

элементов из 100, то есть 10050 .

а) Чтобы все бракованные элементы достались одному потребителю, в выборке должно оказаться 6 или 0 бракованных.

Вероятности двух несовместных событий находим, используя формулу классической вероятности.

60С5094 66С449410050 + 10050 .

ВExcel: 2 ЧИСЛКОМБ(94; 50)/ЧИСЛКОМБ(100; 50) = 0,02666108.

ВR используется команда choose:

P <- 2*choose(n=94, k=50)/choose(100, 50);P

[1]0.02666108

б) Ищем вероятность того, что в первой выборке будет 3 бракован-

3∙С47

ных (тогда во второй также будет 3 бракованных): 65094.

100

В Excel:

ЧИСЛКОМБ(6; 3) ЧИСЛКОМБ(94; 47)/ЧИСЛКОМБ(100; 50) = 0,3222677.

В R используется команда choose:

P <- choose(6,3)*choose(n=94, k=47)/choose(100, 50);P [1] 0.3222677

Пример 4. Найдите вероятность того, что в группе из 30 человек ни у кого нет общих дней рождения.

Решение. Общее число вариантов. У каждого из 30 человек может быть любой из 365 дней рождения и по правилу «произведения» общих

комбинаций:

8

36530.

Число благоприятствующих вариантов. Все 30 дней рождения – разные:

В R:

P <- prod((365-30+1):365)/365^30; P [1] 0.2936838

Задачи для самостоятельного решения

1. Наугад выбирается пятизначное число. Найти вероятность того,

что число одинаково читается как слева направо, так и справа налево

(как, например, 24142).

2. В десятиугольнике случайным образом выбираются две вершины. Чему равна вероятность того, что эти вершины являются соседними?

3. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одно за другим выбирают наугад два числа

(без возвращения). Пусть 1 — первое извлеченное число, 2 — второе извлеченное число. Найти вероятность того, что 1 − 2 ≥ 2.

4. Буквы Е, И, О, Р, Т, Я написаны на отдельных карточках.

Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к

9

другой: а) 3 карточки; б) все 6 карточек. Какова вероятность, что полу-

чится слово:

а) ‹‹ТОР››;

б) ‹‹ТЕОРИЯ››?

5. В студенческой группе 12 девушек и 15 молодых людей. Для участия в психологическом эксперименте отбирают четверых студентов группы. Найдите вероятность того, что будут отобраны две девушки и два молодых человека.

6. Среди 12 переданных ревизору договоров семь оформлены с ошибками. Найдите вероятность того, что среди пяти договоров,

произвольно отобранных ревизором для проверки, окажутся непра-

вильно оформленными:

а) ровно три договора;

б) не менее трех договоров.

2. Геометрическое определение вероятности

Для случая, когда пространство элементарных событий Ω представляет собой конечную часть прямой 1, или плоскости 2, или пространства 3 , вероятность события A вычисляется по формуле

( )( ) = (Ω),

10