2 курс / Анализ данных / Методические рекомендации по подготовке к контрольной работе (ТВиМС)

= 1

ВExcel указанная вероятность вычисляется функцией БИНОМ.РАСП.ДИАП(n; p; 1; 2).

ВR аналогом БИНОМ.РАСП(k; n; p; 0) является команда

dbinom(x = k, size = n, prob = p), а аналогом БИНОМ.РАСП(k; n; p; 1)

является команда pbinom(q = k, size = n, prob = p).

Для БИНОМ.РАСП.ДИАП(n; p; 1; 2) прямого аналога нет, но можно воспользоваться разностью двух функций pbinom:

БИНОМ.РАСП.ДИАП(n; p; 1; 2) = pbinom(k2,n,p)-pbinom(k1-1,n,p)

Пример 18. Найти вероятность появления ровно пяти гербов при

10-кратном бросании монеты.

Решение.

Формула Бернулли:

В Excel:

БИНОМ. РАСП (5; 10; 12 ; 0) = 0,2460938.

В R:

P <- dbinom(5,10,1/2); P [1] 0.2460938

Пример 19. Монета подбрасывается 500 раз. Найдите вероятность того, что количество выпадений орла не будет отличаться от 250 более чем на 10.

31

Решение.

Требуется найти вероятность: 500(240 ≤ ≤ 260).

Вычисляем в Excel:

БИНОМ. РАСП. ДИАП (500; 12 ; 240; 260) = 0,6523358.

И в R:

P <- pbinom(260,500,1/2)-pbinom(240-1,500,1/2); P [1] 0.6523358

Пример 20. В тексте десять задач, пронумерованных от 1 до 10. Вероятность правильного решения испытуемым одна и та же у всех задач. Какова вероятность того, что испытуемый верно решил задачу № 2 при условии, что он верно решил восемь задач из десяти?

Решение. Обозначим через p – вероятность правильного решения задачи испытуемым. Пусть события – «Решил задачу № 2», –

«Решил 8 задач из 10».

Событие ∩ означает, что испытуемый решил одну опреде-

ленную задачу (№ 2) и еще 7 задач из оставшихся девяти. По формуле условной вероятности и формуле Бернулли получаем:

Пример 21. Имеется круг единичной длины с центром в начале координат. Внутрь круга случайным образом вбрасываются 10 точек. Найти вероятность того, что по крайней мере 4 точки попадут в первую четверть (то есть в область внутри круга с координатами ≥ 0, ≥ 0).

Решение. Пусть событие A = {точка попала в первую четверть}. По

Событие = {из 10 брошенных в круг точек − в первую четверть

32

попадает k точек} ( ≤ 10 ) означает, что в десяти испытаниях,

проведенных по схеме Бернулли, произошло k успехов. Поэтому вероятность события вычисляется по формуле Бернулли:

( ) = 10 10− .

Для нахождения вероятности того, что по крайней мере 4 точки попадут в первую четверть (событие B), нужно сложить вероятности для отдельных значений числа попавших в четверть точек (для k от 4

до 10):

10

( ) = ∑ 10 10− .

=4

Выполним вычисления в Excel, используя функцию БИНОМ.РАСП.ДИАП(; ; 1; 2).

10

1( ) = ∑ 10 10− = БИНОМ. РАСП. ДИАП (10; 4 ; 4; 10) = 0,2241249.

=4

И в R:

P <- pbinom(10,10,1/4)-pbinom(4-1,10,1/4); P [1] 0.2241249

Пример 22. Петя играл с Васей (равносильным противником) в

шахматы на приз в 100 руб.: каждый выигрыш приносил одно очко,

ничьи не считались. Игра шла до 8 очков. Когда Петя выиграл пять партий, а Вася – три, внезапно погас свет, и игру пришлось прекратить.

Как им разделить приз – 100 руб.?

Решение. Максимальное количество партий, которое осталось сыграть Пете и Васе, равно семи (чтобы оба набрали 8 очков, доста-

точно 8 партий: 3 партии – Пете и 5 партий – Васе, значит, за 7 партий хотя бы один наберет 8 очков).

33

Петя проиграет только в том случае, если из этих семи партий он выиграет меньше трех. Значит, вероятность выигрыша Васи ( В) – это вероятность получения менее трех успехов в семи испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха 12:

Пример 23. В страховой компании 10 000 клиентов (страхо-

вателей), каждый из которых уплатил страховой компании сумму

1000 руб. (страховую премию). Вероятность наступления страхового случая равна (по оценкам экспертов компании) 0,005, а страховая выплата при наступлении страхового случая составляет 100 000 руб.

Какова вероятность того, что прибыль компании составит не менее

3 миллионов рублей.

Решение. Прибыль компании складывается из выплат страховой премии (эта величина известна) за вычетом страховых выплат при наступлении страховых случаев. Суммарный размер таких страховых выплат является величиной случайной, так как зависит от того, сколько наступило страховых случаев.

Пусть k – число страховых случаев. Тогда прибыль X вычисляется по формуле: = 107 − 105 . В задаче требуется найти вероятность

{ > 3 ∙ 106} или {107 − 105 > 3 ∙ 106}.

Выразим это условие относительно случайной величины k.

{107 − 105 > 3 ∙ 106} = { < 70}.

34

Имеем биномиальную схему испытаний с числом испытаний

= 10 000 , вероятностью «успеха» (страхового случая) = 0,005 .

Требуется найти вероятность того, что число успехов принадлежит интервалу от 0 до 69. Найдем эту величину в Excel:

{ < 70} = 10000(0 ≤ ≤ 69) =

= БИНОМ. РАСП. ДИАП(10000; 0,005; 0; 69)= 0,995755638.

P <- pbinom(69,10000,0.005); P [1] 0.9957556

Пример 24. В дачном посёлке 2 500 жителей, каждый из которых примерно шесть раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок случайным образом и независимо от других жителей.

Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).

Решение. Вероятность поездки жителя в случайно выбранный день: = 306 = 0,2. Здесь мы имеем биномиальную схему испытаний с числом испытаний = 2500, вероятностью успеха = 0,2. Случайной величиной является число пассажиров k в случайно выбранный день.

Обозначим требуемую вместимость поезда через N. Требуется выполнение условия { > } = 0,01. Запишем это условие, используя функцию Excel:

{ > } = 0,01 или { ≥ + 1} = = БИНОМ. РАСП. ДИАП(2500; 0,2; + 1; 2500) = 0,01.

{ > } = 0,01 { ≤ } = 1 − 0,01 = 0,99

N= БИНОМ. ОБР(2500; 0,2; 0,99) = 547

35

Наименьшим значением N, при котором условие выполняется,

является число 0 = 547 . При вместимости поезда в 547 мест,

вероятность переполнения будет меньше 0,01.

Этот же результат в R:

k <- qbinom(0.01, 2500, 0.2, lower.tail=F); k

[1] 547

Замечание: Параметр lower.tail отвечает за знак неравенства в аргументе: для { > } мы использовали значение lower.tail = F

(FALSE), а для случая { ≤ } следовало бы взять lower.tail = T или в развернутом виде lower.tail = TRUE.

Задачи для самостоятельного решения

36. Вероятность ‹‹сбоя›› в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0, 15. Поступило 4 вызова. Определить вероятность того,

что произошло ровно три сбоя.

37. Игральную кость бросают пять раз. Найдите вероятность того,

что дважды появится число, кратное трем.

38. Владельцы кредитных карт теряют их редко – вероятность потерять кредитную карту в течение недели для случайно выбранного вкладчика составляет 0,001. Банк выдал кредитные карты 2000

клиентов. Найдите вероятность того, что за предстоящую неделю будет утеряна: а) ровно одна кредитная карта; б) хотя бы одна кредитная карта.

39. В контрольной работе десять задач. Студент знает примерно

70% материала (то есть можно считать, что вероятность правильного решения задачи студентом равна 0,7). Студент получает оценку

36

«зачтено», если он верно решил не менее 8 задач. Найдите вероятность того, что студент получит за эту контрольную работу оценку «зачтено».

40. В квартире 4 электрические лампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она выйдет из строя в течение года, равна 0, 8.

Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины лампочек?

41. Отрезок разделен точкой C в отношении 2: 1. На этот отрезок наугад брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки C и две правее.

42. Что вероятнее: выиграть на бильярде у равносильного противника не менее трех партии из четырех или не менее пяти партий из восьми.

43. Монета подбрасывается до тех пор, пока орел не выпадет

4 раза. Найти вероятность того, что решка при этом выпадет 2 раза.

44. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 41 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 поку-

пателей не более 80 потребуют обувь этого размера.

45. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам.

Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при

37

размещении 100 000 листков число заказов будет находиться в пределах от 45 до 55 включительно.

46. У страховой компании 10 000 клиентов. Каждый из них при страховании вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0, 0055, а

страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50 000 руб.

Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убыток?

47. У страховой компании 50 000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого составляет = 0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 100 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежнос-

тью 0, 9?

48. Для лица, дожившего до 50-летнего возраста, вероятность смерти на 51-м году равна 0, 02. Застрахована группа в 1000 человек 50-

летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 2000 ден. ед.

Какую выплату наследникам нужно установить, чтобы вероятность убытка для страховой компании в конце года не превышала 0, 1?

38

Ответы

1. 0,01. 2. 29. 3. 0,3. 4. а) 1201 ; б) 7201 . 5. 0,395. 6. а) ≈ 0,0267;

б) ≈ 0,322. 7. 34√3 ≈ 0,413. 8. 29. 9. 78. 10. 34. 11. 1152139 ≈ 0,12. 12. 0,88. 13. 23.

14. 58. 15. 240. 16. 0,154. 17. 13. 18. 23. 19. 13. 20. ( | ) = 23; ( | ) = 35.

21. 228253 ≈ 0,901. 22. Существует. Указание. Сравнить ( | ) и ( ), где A = {случайно выбранный работник получает высокую заработную плату};

B = {случайно выбранный работник — женщина}. 23. 151 . 24. 0,504. 25. 38. 26. 23.

27. 0,4. 28. 34. 29. 0,436. 30. 0,269. 31. ≈ 0,202. 32. Из обычной

( 1 = 1013 ; 2 = 133 ). 33. 4883. 34. а) ≈ 0,714; б) ≈ 0,286. 35. 0,75.

36. ≈ 0,012. 37. 24380 . 38. а) ≈ 0,271; б) ≈ 0,865. 39. ≈ 0,383. 40. ≈ 0,97.

41. 278 . 42. Не менее пяти из восьми (вероятности: 0,3125 и 0,363). 43. 325 .

44. ≈ 0,53. 45. ≈ 0,564. 46. ≈ 1,59 ∙ 10−8. 47. 3 000 000 руб. 48. 76923.

39

Приложение. Функции Excel и R

Функции Excel, используемые при решении задач

Сумма произведений чисел двух последовательностей X и Y –

СУММПРОИЗВ(X; Y)

Факториал числа n, ! – ФАКТР(n)

БИНОМ.РАСП.ДИАП(n; p; 1; 2)

Если задана вероятность (0 ≤ ≤ ), то величину можно найти с помощью функции

k= БИНОМ. ОБР( ; ; (0 ≤ ≤ ))

40