2 курс / Анализ данных / Методические рекомендации по подготовке к контрольной работе (ТВиМС)

где ( ), (Ω) – соответственно мера множеств A и Ω (мера множества

– это его длина, площадь или объем в зависимости от того, в каком пространстве расположено Ω – в 1, 2 или 3).

Пример 5. Интервал движения автобуса равен 40 мин. Расстояние между остановками А и Б автобус проходит за 4 мин, а пешеход за

20 мин. Петя приходит на остановку А в случайный момент времени и сразу идет пешком к остановке Б. Найдите вероятность того, что автобус не обгонит Петю.

Решение. Автобус догонит Петю, если он прибудет на остановку после Пети и не ранее, чем через 20 − 4 = 16 мин после Пети. И

наоборот, не догонит, если прибудет в промежутке от 16 до 40 мин после Пети (больше 40 мин промежуток времени не может составлять согласно расписанию движения автобуса). По геометрическому опреде-

лению вероятности: = 4040−16 = 35.

Пример 6. Цена единицы продукта первого вида колеблется на рынке в пределах от 200 до 350 рублей, а второго вида — от 300 до 600

рублей. Покупатель желает приобрести два вида продуктов. Какова вероятность того, что ему придется платить не более 800 рублей?

Решение. Обозначим: x – цена продукта первого вида; y – цена продукта второго вида;

Решим задачу, используя геометрическое определение вероят-

ности. На координатной плоскости по горизонтальной оси будем откла-

дывать значения переменной x, а по вертикальной оси – значения

переменной y.

11

Пример 7. На плоскость нанесена квадратная сетка. Размер сетки неизвестен. С целью оценить этот размер проводится следующий экспе-

римент. Берется монета диаметром 1 см и многократно бросается на плоскость. Установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни

одной стороны квадрата. Оценить размер сетки.

Решение. Монета не пересечет ни одной стороны квадрата, если ее

центр будет удален от любой стороны квадрата не менее, чем на = 12.

Обозначим размер сетки – x. Внутри одного (любого) квадрата сетки центр монеты может занимать любую точку квадрата. Площадь этой области (пространства элементарных событий Ω): (Ω) = 2. Область,

соответствующая благоприятным событиям – это квадрат A, находя-

щийся внутри квадрата сетки, и отстоящий от каждой стороны квадрата сетки на расстояние 12. Значит, сторона этого квадрата − − 1, а, тогда площадь: ( ) = ( − 1)2 . Согласно геометрическому определению,

вероятность того, что монета не пересечет ни одной стороны квадрата

Задачи для самостоятельного решения

7. В круг вписан правильный треугольник. В круг случайным образом бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет внутрь треугольника?

13

8. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наугад брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по одной точке.

9. На отрезок [0; 2] случайным и независимым образом брошены две точки. Пусть 1 и 2 – их координаты. Найти { 1 + 2 > 1}.

10. На отрезок [0; 2] случайным и независимым образом брошены две точки. Пусть 1 и 2 – их координаты. Найти

{max( 1, 2) − min( 1, 2) < 1}.

11. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу.

Время прихода теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придется ожидать причала, если время стоянки первого теплохода –

1 час, а второго – 2 часа.

3. Теорема сложения

Для любых событий A и B справедлива формула (формула сложения вероятностей)

( ) = ( ) + ( ) − ( ∩ ).

Если события A и B несовместны (то есть не могут появиться в одном опыте, ∩ = и ( ∩ ) = 0 ), то формула сложения вероятностей принимает вид:

( ) = ( ) + ( ).

14

Пример 8. Петя ищет работу. Он побывал на собеседованиях в банке и страховой компании. Вероятность найти работу в банке Петя оценивает в 0,5, а в страховой компании – в 0,6. Кроме того, он рассчитывает, что с вероятностью 0,3 ему поступят предложения от двух организаций сразу. Найдите вероятность того, что Петя получит хотя бы одно предложение работы.

Решение. Обозначим события: A = «Петя получит работу в банке»,

B = «Получит работу в страховой компании». Нас интересует вероят-

ность объединения этих дух событий. По теореме сложения

( ) = ( ) + ( ) − ( ∩ ) = 0,5 + 0,6 − 0,3 = 0,8.

Пример 9. Событие A состоит в том, что потенциальный покупатель увидел рекламу товара на платформе VK, а событие B – в

том, что он увидел рекламу на платформе Facebook. Известно, что

( ) > 0,8,

( ) > 0,4. Проверьте справедливость следующих утверждений: а) A и B несовместны; б) ( ∩ ) > 0,2.

Решение.

а). Используя теорему сложения и условие задачи, получим:

( ) = ( ) + ( ) − ( ∩ ) > 0,8 + 0,4 − ( ∩ ).

Для несовместных событий выполняется: ( ∩ ) = 0. В этом случае получается неравенство ( ) > 1,что невозможно. Следова-

тельно, события A и B несовместными не являются.

б). Теорему сложения можно записать в следующем виде:

( ∩ ) = ( ) + ( ) − ( ).

15

Тогда из условия задачи и из неравенства ( ) ≤ 1 получим:

( ∩ ) = ( ) + ( ) − ( ) > 0,8 + 0,4 − ( ) =

= 1,2 − ( ) ≥ 1,2 − 1 = 0,2.

Следовательно, неравенство ( ∩ ) > 0,2 выполняется.

Пример 10. Пусть P( ), ( ), ( ∩ ) — вероятности

событий A, B, ∩ .

Какие из следующих ситуаций возможны, какие — нет?

Решение.

(а) нет; так как ( ∩ ) = 0,2 > 0,1 = ( ),

противоречит свойству вероятности

( ∩ ) ≤ P( ) = (( ∩ ) ( ∩ ̅));

(б) да; (например, при A = B);

(в) нет; так как теорема сложения даёт:

( ) = ( ) + ( ) − ( ∩ ) = 0,8 + 0,9 − 0,5 = 1,2;

(г) нет; то же, что и в п. (а) ∩ ( ∩ ) ≤ P( );

(д) да; например, если .

16

Задачи для самостоятельного решения

12. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных шара. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару.

Чему равна вероятность того, что среди выбранных шаров по крайней мере один белый?

13. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 3, или тому и другому одновременно.

14. Студент добирается до института общественным транспортом.

Он может уехать автобусом или троллейбусом. Найти вероятность того,

что, подойдя к остановке, студент уедет в течение ближайших пяти минут. Известно, что автобусы и троллейбусы ходят независимо друг от друга, причем автобусы ходят с интервалом в 20 минут, а троллейбусы с интервалом в 10 минут.

15. Менеджер по кадрам разместил на кадровом портале объявление, что банку требуется начальник отдела долговых обязательств, и получил 300 резюме. Из прошлого опыта известно, что вероятность того, что претендент имеет бизнес-образование, равна 0,3,

вероятность того, что претендент имеет опыт руководящей работы в банке, – 0,7, а вероятность того, что претендент имеет и бизнес-

образование, и опыт руководящей работы, – 0,2. Оцените количество претендентов, имеющих опыт руководящей работы или бизнес-

образование.

17

16. Причиной разрыва электрической сети служит выход из строя

вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Какова вероят-

ность разрыва электрической сети.

4. Условная вероятность

Условная вероятность события A при условии, что произошло событие, B вычисляется по формуле

( | ) = ( ∩ ).

Пример 11. Три раза подбросили игральный кубик. Найти вероятность того, что среди появившихся чисел ровно две «5», если известно, что на выпавших гранях есть по крайней мере одна «1».

Решение. Введем обозначения для событий: A = {Среди выпавших чисел ровно две «5}; B = {Среди выпавших чисел есть по крайней мере одна «1»}. Требуется найти условную вероятность ( | ).

Используем формулу для условной вероятности: ( | ) = ( ∩ ).

Вероятность события B найдем, используя обратное событие

={Среди выпавших чисел нет ни одной «1»}:

5 3 91( ) = 1 − ( ) = 1 − (6) = 216.

Событие ∩ , то есть одновременное выполнение событий A и B

означает выпадение набора чисел: 1, 5, 5. Имеется три варианта появ-

ления такого набора: {1,5,5}; {5,1,5}; {5,5,1}, поэтому ( ∩ ) = 2163 .

18

Итак,

3

( | ) = ( ∩ ) = 216 = 3 .

( ) 91 91

216

Условную вероятность можно искать двумя способами. Первый – использовать формулу для условной вероятности. Так было сделано в предыдущем примере. Второй способ – построить новое пространство элементарных событий, в котором учтено, что событие, стоящее в условии, произошло. Затем применять обычные способы решения,

например, формулу классической вероятности. Таким способом решается задача из следующего примера.

Пример 12. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпала единица, если известно, что на второй кости выпало очков больше, чем на первой?

Решение. Сначала найдем элементарные события, удовлетворяю-

щие условию: на второй кости выпало очков больше, чем на первой.

Таких событий 15. (Всего при бросании двух костей элементарных событий 36, из них в шести случаях цифры на костях совпадают.

Оставшиеся 30 событий делятся поровну на искомые, и на те, в которых на второй кости очков меньше, чем на первой).

Благоприятствующих событий 5 ((1;2), (1;3), …, (1;6)). Таким образом, = 155 = 13.

19

Задачи для самостоятельного решения

17. Брошены две игральные кости. Найти условную вероятность того, что произведение выпавших очков больше 30, если известно, что их сумма больше 10.

18. В результате трех бросаний игральной кости была получена сумма цифр, равная 17. Какова вероятность того, что при последнем бросании выпала цифра 6?

19. В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки

– независимые и равновероятные события, вычислить вероятность того,

что оба ребенка мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.

20. Из урны, содержащей 4 красных и 6 синих шаров, наугад последовательно и без возвращения извлекаются два шара. События:

A = {первый шар красный}; B = {второй шар синий}; C = {по крайней мере один из вынутых шаров красный}. Найти: ( | ), ( | ).

21. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета,

студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

22. На рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Среди работников, получающих высокую заработ-

ную плату отношение числа мужчин и женщин равно 14,6: 6,44. Извест-

20