2 курс / Анализ данных / ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Центральным моментом порядка k

называют математическое ожидание k–ой степени отклонения величины от своего математического ожидания:

k = E(( X − E( X ))k ).

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

1 = E(( X − E( X )))= 0 .

Центральным моментом второго порядка является дисперсия величины:

2 = E(( X − E( X ))2 )= D( X )

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Для вычисления центральных моментов более высоких порядков используют следующие тождества:

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Центральные моменты третьего и четвёртого порядка необходимы для определения асимметрии и эксцесса распределения величины.

Асимметрия определяется отношением вида:

AsX = 33 , где = ( Х ) .

Эксцесс определяется как:

EsX = 44 − 3, где, по-прежнему, = ( Х ) .

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Среди свойств ковариации отметим следующие:

1.

2.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Математическое ожидание произведения зависимых величин равно сумме произведения математических ожиданий этих величин и их ковариации:

E( X Y ) = E( X ) E(Y ) + Cov( X ,Y ) .

Дисперсия суммы зависимых величин вычисляется по формуле:

D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ) .

Дисперсия разности зависимых величин вычисляется по формуле:

D( X − Y ) = D( X ) + D(Y ) − 2Cov( X ,Y )

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Пример 5.

Найти D(2 X − 3Y + 5) , если известны:

D( X ) = 4 , D(Y ) =1 и ( X ,Y ) = 0,2 .

Решение.

Используя свойства дисперсии и ковариации,

а также определение коэффициента корреляции, преобразуем:

D(2X − 3Y + 5) = D(2X − 3Y )

=D(2X ) + D(3Y ) − 2Cov(2X ,3Y ) =

=22 D( X ) + 32 D(Y ) − 2 2 3 Cov( X ,Y ) =

=4D( X ) + 9D(Y ) −12 ( X ,Y ) ( X ) (Y ) =

=4D( X ) + 9D(Y ) −12 ( X ,Y ) D( X ) D(Y ) .