2 курс / Анализ данных / ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
n |
1 |
|
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
|||
Условие рi = |
|
+ |
|
+ |
|
=1 |
выполнено. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21 |
21 |
21 |
|||||||||||
i =1 |
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому закон распределения имеет вид:
Значение Х |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вероятность рi |
|
1 |
|
10 |
|
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
21 |
21 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту таблицу и можно считать ответом на вопрос задачи.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 2.
Банк выдал три кредита предприятию, оценив вероятность возврата каждого кредита в 0,9.
Составить закон распределения величины Х – числа возвращённых банку кредитов.
Решение.
В качестве возможных значений величины Х мы предлагаем 0, 1, 2 и 3.
Соответствующие этим значениям вероятности будем вычислять как вероятности событий,
связанных с принятием величиной определённого числового значения:
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
р1 = Р( Х = 0) = Р3 (0) = С30 0,90 0,13 = 0,001
(Вычисляли вероятность события
«Из трёх выданных кредитов возвратятся 0» –
применяли формулу Бернулли )
Аналогично:
р2 = Р( Х =1) = Р3 (1) = С31 0,91 0,12 = 0,027 р3 = Р( Х = 2) = Р3 (2) = С32 0,92 0,11 = 0,243 р4 = Р( Х = 3) = Р3 (3) = С33 0,93 0,10 = 0,729
n |
|
|
|
|
Условие рi = 0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 =1 выполнено. |
||||
i =1 |
|
|
|
|
Поэтому закон распределения имеет вид: |
||||
Значение Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Вероятность рi |
0,001 |
0,027 |
0,243 |
0,729 |
Эта таблица и определяет искомый закон распределения.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
С ДИСКРЕТНЫМИ
СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ
Со случайными величинами можно выполнять целый ряд арифметических дей-
ствий (операций), при этом должна формироваться новая случайная величина.
Если речь идёт о дискретных случайных величинах, то результат выполнения
операции должен иметь свой закон распределения.
При этом возможны как действия, при которых меняются только значения вели-
чины, а вероятности остаются неизменными, так и действия, в результате кото-
рых изменятся и значения, и вероятности.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если Х – случайная величина,
то случайной величиной является и Y = g( Х ) ,
при условии, что g(x) – непрерывная числовая функция.
Под действием функции g(x) изменяются
только значения величины Х.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Если известен закон распределения дискретной случайной величины Х :
Значение величины Х |
х1 |
х2 |
… |
хп |
|
|
|
|
|
|
n |
Вероятность рi |
р1 |
р2 |
… |
рп |
рi =1. |
|
|
|
|
|
i =1 |
то закон распределения дискретной случайной величины Y = g( Х )
о определяется по правилу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение величины Y = g( Х ) |
g(х1 ) |
g(х2 ) |
… |
g(хп ) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
р1 |
р2 |
… |
рп |
рi =1. |
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 1.
Известен закон распределения величины Х:
Значение величины Х |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
Составить законы распределений для величин:
а)Y = X +5,
б) Y = 3X,
в)Y = Х 2 .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
а) Величина Y = X +5 определяется на основе функции g(x) = x + 5,
под действием которой изменятся значения величины Х.
Найдем все возможные значения для величины Y = X +5:
y1 = x1 + 5 = −2 + 5 = 3, |
y2 = x2 + 5 = −1 + 5 = 4 , y3 = x3 + 5 = 0 + 5 = 5 , |
y4 = x4 + 5 =1 + 5 = 6 , |
y5 = x5 + 5 = 2 + 5 = 7 . |
Поскольку вероятности при этом не меняются, закон распределения новой величины Y = X +5 будет иметь вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение величины Y = X +5 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
б)
Величина Y = 3X определяется на основе функции g(x) = 3x ,
под действием которой изменятся значения величины Х.
Найдем все возможные значения для величины Y = 3X:
y1 = 3x1 = −6 , y2 = 3x2 = −3 , y3 = 3x3 = 0 , y4 = 3x4 = 3 , y5 = 3x5 = 6 .
И соответствующий закон распределения примет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение величины Y = 3X |
–6 |
–3 |
0 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
в)
Величина Y = Х 2 определяется на основе функции g(x) = x2 ,
под действием которой изменятся значения величины Х.
Найдем все возможные значения для величины Y = Х 2 :
y = (x )2 |
= (−2)2 |
= 4 |
, |
y |
2 |
= (x |
2 |
)2 |
= (−1)2 |
=1, |
y |
3 |
= (x )2 |
= 02 = 0 , |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
y4 = (x4 )2 =12 =1, |
y5 = (x5 )2 = 22 = 4. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Мы видим, что среди вычисленных значений есть одинаковые.
В таблицу, определяющую закон распределения,
заносят только различные значения.
Поэтому среди возможных значений Y = Х 2 отметим только 0, 1 и 4.