2 курс / Анализ данных / ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
хi |
y j |
xi + y j |
P( X + Y = xi + y j ) = P( X = xi ) P(Y = y j ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
–1 |
–2 |
|
0,2 |
0,2 = 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
–1 |
|
0,2 |
0,3 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
1 |
0 |
|
0,2 |
0,5 = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
–1 |
–1 |
|
0,2 |
0,2 = 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0,2 |
0,3 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0,2 |
0,5 = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–1 |
0 |
|
0,3 |
0,2 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0,3 |
0,3 = 0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
0,3 |
0,5 = 0,15 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
–1 |
1 |
|
0,3 |
0,2 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
0,3 |
0,3 = 0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
0,3 |
0,5 = 0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ |
|
|
|
В выделенном столбце находятся суммы xi |
+ y j для всех возможных значений |
||
индексов i, j . |
|
|
|
Мы видим, что среди значений есть одинаковые. |
|||
В таблицу для закона распределения |
Z = X + Y заносим только различные |
||
значения, то есть: |
–2, –1, 0, 1, 2 и 3. |
При вычислении вероятностей для этих |
|
значений используем правило: |
|
|
|
для одинаковых значений суммы xi + y j вероятности складываются. |
|||
Например (см. |
выделенные цветом |
значения и вероятности): |
|
P( X +Y = −1) = P( X = −1) P(Y = 0) + P( X = 0) P(Y = −1) . = 0,06 + 0,04 = 0,1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
В итоге закон распределения величины Z = X + Y имеет вид:
Значение величины Z = X + Y |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Вероятности |
0,04 |
0,1 |
0,22 |
0,25 |
0,24 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
Условие на закон распределения выполнен:
сумма всех вероятностей во второй строке равна 1.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
б) Составим закон распределения Z = X – Y.
Для этого найдём все возможные разности xi − y j
и соответствующие им вероятности по правилу
P( X − Y = xi − y j ) = P( X = xi ) P(Y = y j ) ,
следующему из условия независимости величин X и Y:
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
хi |
y j |
xi − y j |
P( X − Y = xi − y j ) = P( X = xi ) P(Y = y j ) |
|
|
|
–1 |
–1 |
0 |
0,2 |
0,2 = 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
–1 |
0,2 |
0,3 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
1 |
–2 |
0,2 |
0,5 = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
–1 |
1 |
0,2 |
0,2 = 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0,2 |
0,3 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
–1 |
0,2 |
0,5 = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–1 |
2 |
0,3 |
0,2 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0,3 |
0,3 = 0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0,3 |
0,5 = 0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
–1 |
3 |
0,3 |
0,2 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
0,3 |
0,3 = 0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
0,3 |
0,5 = 0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
В выделенном столбце теперь находятся разности xi − y j
для всех возможных значений индексов i, j .
Мы видим, что среди значений есть одинаковые.
В таблицу для закона распределения Z = X – Y
заносим только различные значения, то есть: –2, –1, 0, 1, 2 и 3.
При вычислении вероятностей для этих значений используем правило:
для одинаковых значений разности xi − y j вероятности складываются.
Например (см. выделенные цветом значения и вероятности):
P( X −Y = −1) = P( X = −1) P(Y = 0) + P( X = 0) P(Y =1) = . 0,06 + 0,1 = 0,16
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
В итоге закон распределения величины Z = X – Y имеет вид:
Значение величины Z = X – Y |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Вероятности |
0,1 |
0,16 |
0,25 |
0,28 |
0,15 |
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
Условие на закон распределения и в этом случае выполнен:
сумма всех вероятностей во второй строке равна 1.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
в) Составим закон распределения Z = X Y.
Для этого найдём все возможные произведения xi y j
и соответствующие им вероятности по правилу
P( X Y = xi y j ) = P( X = xi ) P(Y = y j ) ,
следующему из условия независимости величин X и Y:
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
хi |
y j |
xi y j |
P( X Y = xi y j ) = P( X = xi ) P(Y = y j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
–1 |
1 |
0,2 |
0,2 = 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
0 |
0,2 |
0,3 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
1 |
–1 |
0,2 |
0,5 = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
–1 |
0 |
0,2 |
0,2 = 0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0,2 |
0,3 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0,2 |
0,5 = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–1 |
–1 |
0,3 |
0,2 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0,3 |
0,3 = 0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0,3 |
0,5 = 0,15 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
–1 |
–2 |
0,3 |
0,2 = 0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
0,3 |
0,3 = 0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
0,3 |
0,5 = 0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
В выделенном столбце теперь находятся произведения xi y j
для всех возможных значений индексов i, j .
Мы видим, что и среди этих значений есть одинаковые.
В таблицу для закона распределения Z = X Y
заносим только различные значения, то есть: –2, –1, 0, 1 и 2.
При вычислении вероятностей для этих значений используем правило:
для одинаковых значений произведений xi y j вероятности складываются.
Например (см. выделенные цветом значения и вероятности):
P( X Y = −1) = P( X = −1) P(Y =1) + P( X =1) P(Y = −1) =. 0,1 + 0,06 = 0,16