2 курс / Анализ данных / ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Вычислим теперь соответствующие этим значениям вероятности:
Р(Y = 4) = P( X 2 = 4) = P( X = −2) + P( X = 2) = 0,1 + 0,3 = 0,4 ,
Р(Y =1) = P( X 2 =1) = P( X = −1) + P( X =1) = 0,1 + 0,3 = 0,4 ,
Р(Y = 0) = P( X 2 = 0) = P( X = 0) = 0,2 .
И закон распределения для Y = Х 2 в итоге принимает вид:
|
|
|
|
|
|
Значение величины Y = Х 2 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
0,2 |
0,4 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Выполнение операций сложения, умножения, вычитания и деления с дискретными случайными величинами позволяет получить новые дискретные случайные величины, называемые суммой,
произведением, разностью и частным исходных ДСВ.
Для формирования законов распределения этих новых ДСВ необходимо определять и новые значения,
и соответствующие этим новым значениям вероятности.
Проще всего задачи решаются в случае, когда исходные ДСВ являются независимыми.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Дискретные случайные величины X и Y являются независимыми
в том случае, когда принятие величиной Х какого-либо значения никак не влияет ни на возможные значения величины Y,
ни не отвечающие им вероятности.
Именно для независимых величин X и Y выполняется равенство:
P( X = xi ,Y = y j ) = P( X = xi ) P(Y = y j ) |
(*) |
для всех возможных значений i, j .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Суммой независимых величин X и Y называется
новая величина Z = X + Y, значения которой определяются возможными значениями xi + y j и вероятностями,
определяемыми условием (*), для всех возможных значений i, j .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Разностью независимых величин X и Y называется величина Z = X – Y, значения которой определяются возможными значениями xi − y j и вероятностями,
определяемыми условием (*), для всех возможных значений i, j .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Произведением независимых величин X и Y
называется величина Z = X Y, значения которой
определяются возможными значениями xi y j
и вероятностями, определяемыми условием (*),
для всех возможных значений i, j .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Частное от деления независимых величин X и Y
определяется аналогично,
но при дополнительном условии,
что среди возможных значений Y нет равных нулю: y j 0 для всех возможных значений j .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 2.
Даны законы распределений независимых величин X и Y:
Значение величины Х ( хi ) |
–1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
Значение величины Y ( y j ) |
–1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность р j |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
1) Составить законы распределения их суммы, разности и произведения.
2) Какое из событий наиболее вероятно:
А :{X + Y = 2},
B :{X − Y = 2}
или
C :{X Y = 2} ?
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение. |
|
1. |
|
а) |
Составим закон распределения Z = X + Y. |
Для этого найдём все возможные суммы x |
i |
+ y |
j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и соответствующие им вероятности по правилу |
|
|
|||||||
P( X + Y = x |
+ y |
j |
) = P( X = x ) P(Y = y |
j |
) , |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
||
следующему из условия независимости величин X и Y: |
|
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|