2 курс / Анализ данных / ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Дискретные случайные величины
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Случайной называют величину, принимающую числовое значение, но заранее не известно – какое.
Прибыль фирмы в наугад выбранном году, Курс доллара в наугад выбранный день
Время бесперебойной работы какого-либо прибора
– это лишь немногие примеры из огромного количества случайных величин.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Для изучения случайной величины, в первую очередь, важно знать, какие значения она может принимать.
В зависимости от возможных значений, принимаемых величиной, различают дискретные и непрерывные
случайные величины.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Обозначают случайные величины как X, Y, Z…
Значения величин обозначают соответственно: x1, x2 ,.... – значения для величины X,
y1, y2 ,.... – значения для величины Y, z1, z2 ,.... – значения для величины Z.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Чтобы полностью охарактеризовать дискретную случайную величину,
необходимо не только указать все её возможные значения,
но и определить соответствующие вероятности,
с которыми величина эти значения может принять.
Такая информация для ДСВ записывается в виде таблицы:
Значение величины Х |
х1 |
х2 |
… |
хп |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
р1 |
р2 |
… |
рп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Здесь
р1 = Р( Х = х1) , р2 = Р( Х = х2 ) , …., рп = Р( Х = хп ) .
Вероятность того, что величина принимает определённое
числовое значение, является событием.
Если в первой строке таблицы предложены все возможные значения величины, то сумма всех вероятностей во второй строке таблицы должна быть равна 1.
Это условие является определяющим для формирования закона распределения дискретной случайной величины.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Законом распределения ДСВ называют соответствие между
возможными значениями величины и вероятностями,
отвечающими этим значениям, при условии равенства единице
суммы этих вероятностей:
Значение величины Х |
х1 |
х2 |
… |
хп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
р1 |
р2 |
… |
рп |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рi =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 1.
В коробке находятся 5 белых и 2 чёрных шара.
Случайным образом из коробки извлекают 2 шара.
Составить закон распределения величины Х –
числа белых шаров в выборке.
Решение.
Предлагаемый состав шаров в коробке допускает,
чтобы среди выбранных двух шаров оба были чёрными (0 белых), или оба – белыми,
или же выборка состояла из 1 белого и 1 чёрного шаров.
Поэтому в качестве возможных значений величины Х мы предлагаем 0, 1 и 2.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Соответствующие этим значениям вероятности будем вычислять как вероятности событий, связанных
с принятием величиной определённого числового значения:
р = Р( Х = 0) |
= |
С50 |
С22 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
С72 |
|
21 |
||
|
|
|
||||
(Вычисляли вероятность события
«Из двух выбранных из коробки шаров – оба чёрные»)
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
р2 |
= Р( Х =1) = |
С51 |
С21 |
= |
10 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
С72 |
|
21 |
||||||
|
|
|
||||||
(Вычисляли вероятность события
«Из двух выбранных из коробки шаров
– один белый, один чёрный»)
р = Р( Х = 2) |
= |
С52 |
С20 |
= |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
С72 |
|
21 |
|||
|
|
|
|||||
(Вычисляли вероятность события
«Из двух выбранных из коробки шаров – оба белые»)