ДЗ по Т.В. по вариантам

ВАРИАНТ-16

1.16.События А-хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный. В-все приборы доброкачественные. Что означают события А+В, А·В – ( и ).

2.16.Найти вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости появятся все грани.

2.46.В группе из 30 учеников на контрольной работе шесть учеников получили оценку отлично,10-оценку хорошо,9 учеников-оценку удовлетворительно,5 учеников оценку неудовлетворительно.Какова вероятность того,что три ученика,вызванные к доске,имеют неудовлетворительную оценку по контрольной работе?

3.16.Два лица поочередно бросают монету,выигрывает тот,у кого раньше появится герб.Определить вероятность выигрыша для каждого лица.

3.46.Вероятность того,что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях,равна 0,75.Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается,что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

4.16.При разрыве снаряда образуется 10% крупных осколков,60% средних и 30% мелких.Вероятность пробивания брони крупным осколком равна 0,7, средним-0,2 и мелким-0,05.Известно,что в броню попал один осколок.Определить вероятность того,что броня пробита.

4.46.В двух ящиках лежат однотипные детали:в первом ящике 8 исправных и 2 бракованные, во втором-6 исправных и 4 бракованные.Из первого ящика наудачу взяты 2 детали,а из второго-1 деталь.Детали,перемешав,поместили в третий ящик,откуда наугад взяли одну деталь.Определить вероятность того,что эта деталь исправна.

5.16.Телеграфная станция принимает цифровой текст.В силу наличия помех вероятность ошибочного приема любой цифры не изменяется в течение всего приема и равна 0,01.Считая приемы отдельных цифр независимыми событиями,найти вероятность того,что в тексте,содержащем 1100 цифр,а)будет ровно 7 ошибок, б)число неверно принятых цифр будет мень-

ше 20.

5.46.При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных.Найти вероятность наличия от 790 до 820 (включительно)годных в партии из 900 клемм.

6.16.Вычислительное устройство состоит из трех независимо функционирующих блоков.Вероятность безотказной работы первого блока равняется 0,8, второго 0,7 и третьего 0,6.Найти математические ожидания:а)числа исправных блоков,б)числа неисправных блоков.

7.16.Случайная величина X задана плотностью распределения:

Найти:1)коэффициент C; 2) функцию распределения F(x) ; 3) вероятность попадания случайной величины на интервал ( /6; /4); 4)математическое ожидание X.

8.16.Автомашина проходит технический осмотр и обслуживание.Число неисправностей,обнаруженных во время техосмотра,распределяется по закону Пуассона с параметром "a" . Если неисправностей не обнаружено,техническое обслуживание машины продолжается в среднем 2 часа.Если обнаружены одна или две неисправности,то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса.Если обнаружено больше двух неисправностей,то машина ставится на профилактический ремонт,где она находится в среднем 4 часа.Определить закон распределения среднего времени обслуживания и ремонта машины и его математическое ожидание M[T].

9.16.Случайная величина X подчинена нормальному закону с параметрами a , . Вычислить с точностью до 0,01 вероятность попадания значений случайной величины X в интервал (a, a+ ) (без использования таблиц функции Лапласа).

10.16.Имеется система случайных величин (X,Y), MX=0, MY=2, DX=2, DY=1 и

Найти коэффициент "a".Установить,являются ли величины зависимыми.Определить вероятность совместного выполнения двух неравенств x<-3; y<4.

ВАРИАНТ-17

1.17.Пусть А и В-случайные события.Доказать,что А, A В, AB образуют полную группу.

2.17.В магазине работает 10 продавцов,из них 6 женщин.В смену заняты 3 продавца.Найти вероятность того,что в наудачу укомплектованную смену войдут все 3 продавца мужчины.

2.47.Куб, все грани которого окрашены,распилен на 125 кубиков одинакового размера.Все кубики перемешаны.Определить вероятность того,что кубик,извлеченный наудачу,будет иметь три окрашенные грани.

3.17.Группа состоит из двух стрелков.Определить вероятность попадания в цель каждым стрелком,если известно,что вероятность совместного попадания в цель при условии,что каждый сделает,независимо друг от друга,по одному выстрелу,равна 0,56,а вероятность совместного промаха 0,06.

3.47.Электрическая цепь имеет два параллельно соединенных дублирующих друг друга элемента и один элемент,соединенный с ними последовательно.Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени равна 0,8.Отказ каждого элемента не зависит от отказа других.Определить вероятность безотказной работы всей цепи.

4.17.В первой урне содержится 10 шаров,из них 8 белых,во второй урне 30 шаров,из них 4 белых.Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару,а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар.Найти вероятность того,что взят белый шар.

4.47.Имеются две одинаковые урны.В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров,во второй-3 белых и 7 черных шаров.Из одной наугад

выбранной урны извлекается один шар.Он оказывается черным.Какова вероятность того,что он извлечен из первой урны?

5.17.Проводится соревнование по стрельбе из охотничьих ружей по летящим тарелочкам.Для каждого стрелка пускается 50 тарелочек.Вероятности попадания в тарелочку равны:для первого стрелка 0,9, для второго 0,95 и для третьего 0,85.Определить наиболее вероятное число тарелочек, пораженных каждым стрелком.

5.47.Производится 21 выстрел по цели,вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,25.Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий в цель.

6.17.На пути движения автомашины 4 светофора,каждый из них либо разрешает,либо запрещает движение с вероятностью 0,5.Найти закон распределения,математическое ожидание и дисперсию числа пройденных автомашиной светофоров до первой остановки.Построить функцию распределения.Определить вероятность того,что число пройденных светофоров будет не менее двух.

7.17.Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент c, М[X], D[X]. Построить график функции распределения F(x).

8.17.Случайная величина X распределена равномерно с M[X]=4,D[X]=3. Найти плотность распределения случайной величины X .

9.17.Считается,что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта является случайной величиной,распределенной по нормальному закону.Если стандартная длина равна 4о см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см,то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

10.17.Случайные величины X и Y связаны соотношением m X+nY=C, где

m,n,c -неслучайные величины ( m 0,n 0 ).Найти:а)коэффициент корреляции rxy

б)отношение среднеквадратических отклонений x

y .

11.17.Координаты случайной точки (x,y) раcпределены равномерно внутри прямоугольника,ограниченного прямыми x=0, x=a, y=0, y=b.Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса R=a ,если a>b, а центр круга совпадает с началом координат.

ВАРИАНТ 18

1.18. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Записать событие, которое должно иметь место для того, чтобы был произведен четвертый выстрел? Будет ли это событие противоположно тому событию, что произведено не более трех выстрелов?

2.18. На 8 одинаковых карточках написаны соответственно числа 2,4,6,7,8,11,12 и 13, Наугад берутся 2 карточки. Определить вероятность того,что из двух полученных чисел дробь сократима.

2.48. Слово ‘’ Керамит’’ составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность. Что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово’’река’’?

3.18. Из полной колоды карт ( 52 листа) вынимается одна карта . Рассматриваются события: А - появление туза, в - появление карты красной масти. Зависимы или независимы эти события.

3.48. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле 0.8, а вторым стрелком - 0.6.Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

4.18.По самолету производятся три независимых выстрела снарядами со взрывателями ударного действия. Вероятность попадания в самолет равна 0.6. При одном попадании самолет поражается с вероятностью 0.4. при двух -0.7 и при трех - с вероятностью 0,9. Определить вероятность поражения самолета.

4.48. У рыбака имеются три излюбленных метс для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом мсте, рыба клюет с вероятностью 0.6, на втором мести - с вероятностью 0.45, на третьем - с вероятностью 0.4.Известно, что рыбак выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз.Найти вероятность того,что он удил рыбу на первом месте.

5.18. в цехе имеется 125 станков, работающих независимо друг от друга. Каждый станок оказывается включенным 0.85 всего рабочего времени.Какова вероятность того. Что в некоторый момент времени окажутся включенными не менее 100 станков?

5.48. Если в среднем левши составляют 1% , каковы шансы на то, что среди 200 человек а) окажется ровно четверо левшей; в) найдется четверо левшей?

6.18. Мишень состоит из круга и кольца.Попадание в круг дает 10 очков. А попадание в кольцо 5 очков. Вероятность попадания в круг и кольцо соответственно равны 0.6 и 0.4. Построить закон распределения для случайной суммы выбитых очков в результате двух попаданий.

7.18. Плотность распределения случайной величины Х задана графически : f(х) Написать выражение плотности

распределения f(х); найти функцию распределения и построить график; найти математическое ожидание и дисперсию.

х

02 4

8.18.На колышек одно за другим набрасывается 4 кольца,причем вероятность попадания для каждого броска одна и та же и равна 0.8. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию колец, попавших на колышек, если броски независимы.

9.18.Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону. Параметры его следующие: cреднее квадратическое отклонение = 25г,математическое ожидание а=0.375г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет заключен в границах от

300 г до 425г.

10.18.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: Х-число появлений шестерки, У- число появлений нечетной цифры.

а) Описать закон распределения случайного вектора(Х,У). Б) Установить зависимы или независимы компоненты Х и У.

11.18.Координаты (х,у) случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х=а, х=b, у=с, у=d

(в>a,d>c). Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения системы случайных величин Х,У. Выяснить,являются ли Х,У независимыми величинами.

ВАРИАНТ-20

1.20.Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа.Событие Аi (i=1,2,3)-исправен i-й блок первого типа, Вj (j=1,2,3,4)-исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго

типа.Найти выражение для события С, которое соответствует работе прибора.

2.20.Из 15 билетов выигрышными являются 4.Какова вероятность того,что среди взятых наудачу 6 билетов будет 2 выигрышных?

2.50.Каждая из букв слова "интеграл" написана на одной из восьми карточек.Карточки перемешиваются.Найти вероятность того,что при извлечении трех карточек появится(в порядке их выхода)слово "три".

3.20.Прибор состоит из двух дублирующих друг друга элементов.Вероятность безотказной работы первого элемента равна 0,85,второго-0,72.Определить вероятность безотказной работы прибора.

3.50.На предприятии брак составляет в среднем 2% от общего выпуска изделий.Среди годных изделий изделия первого сорта составляют 95%.Какова вероятность того,что наудачу взятое изделие окажется первого сорта,если изделие взято из числа прошедших проверку, из общей массы изготовляемой продукции?

4.20.Имеются две урны первой группы,3 урны 2-й группы и 5 урн третьей группы.Урны внешне не отличаются одна от другой.В каждой урне первой группы имеется 1 белый и 4 черных шара,в каждой урне второй группы-5 белых и 3 черных шара,в урне третьей группы-6 белых и 9 черных шаров.Наугад берут одну из урн и из нее вынимают шар.Какова вероятность,что вынутый шар окажется белым?Если шар белый,то какова вероятность,что он вынут из урны первой группы.

4.50.В шкафу стоят однотипные приборы,из которых “а” новых и “в” уже бывших в эксплуатации (a 2, b 2).Выбираются наугад два прибора и эксплуатируются в течение какого-то времени,после чего возвращаются в шкаф.Затем вторично выбирают наугад два прибора.Найти вероятность того,что оба вторично выбранных прибора будут новыми.

5.20.Сколько следует провести повторных независимых испытаний,чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51,если вероятность появления этого события в отдельном испытании P =0,64?

5.50.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6.Производится 100 выстрелов.

Какова вероятность числа попаданий а)не менее 20, б)не больше 75, в)от 45 до 75.

6.20.В ящике 15 деталей,среди которых 10 окрашенных.Сборщик наудачу извлекает 3 детали.

Составить закон распределения случайной величины X -числа окрашенных деталей среди трех извлеченных.Найти функцию распределения и построить ее график.

7.20.Плотность распределения вероятности случайной величины f (x) = ax2e−kx(k 0,0 x )

Требуется:а)найти коэффициент a ,б)найти функцию распределения случайной величины X ,в)вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1/k).

8.20.Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f(x)

A

x

1)Найти A и написать выражение плотности.2)Найти и построить график функции распределения F(x) .3)Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

9.20.Среднее квадратическое отклонение случайной величины,распределенной по нормальному закону,равно 2 см,а математическое ожидание равно 16см.Найти границы,в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.

10.20.Дважды бросается игральная кость.Случайные величины:X-число появлений шестерки,Y-число появлений четной цифры.

а)описать закон распределения случайного вектора (X,Y).

б)описать условный закон распределения случайной величины X при условии Y=2 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание M[X/Y=2].

11.20.Плотность совместного распределения системы случайные величины (x,y),заданной внутри круга радиуса R ,равна

2)вероятность попадания в круг радиуса a < R,если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

ВАРИАНТ-21

1.21.Пусть Ai- событие,состоящее в том,что при i-м повторении эксперимента осуществилось событие А,В mn событие,состоящее в том,что при n первых повторениях эксперимента событие А осуществилось m раз.Выразить В 24 через А i .

2.21.В урне находятся 16 шаров,помеченных номерами 1,2,3,...,16.Наудачу извлечены 5 шаров (без возвращения).Найти вероятность того,что среди извлеченных шаров окажутся шары с номерами 1 и 2.

2.51.Найти вероятность угадывания в "Спортлото"4-х цифр (всего 49 цифр).

3.21.Из последовательности чисел 1...20 выбирают наудачу три различных числа.Какова вероятность,что среди выбранных чисел есть хотя бы одно кратно заданному числу три?

3.51.Вероятность того,что студент первого курса перейдет на второй,равна 0,9,а вероятность того,что студент первого курса окончит институт,равна 0,8.Какова вероятность того,что студент второго курса окончит институт?

4.21.Производится 5 независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим.Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью 0,7.Если в резервуар попал один снаряд,горючее воспламеняется с вероятностью 0,4, если два снаряда-с полной достоверностью.

Найти вероятность того,что при 5 выстрелах горючее воспламенится.

4.51.Три самолета-штурмовика ведут огонь по наземной мишени,ориентируясь на команду "огонь", подаваемую с командного пункта.Вероятности попадания для каждого из самолетов равны соответственно 0,2, 0,4, 0,6.Команда "огонь" подается в два раза чаще первому самолету,чем второму и третьему в отдельности.Найти вероятность того,что мишень окажется непораженной.

5.21.Вероятность поражения цели стрелком при одном выстреле равна 0,8.Найти вероятность,что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 60 раз и не более 90 раз.

5.51.Вероятность приема отдельного радиосигнала равна 0,15.Прием ведется в течение времени,за которое радиосигнал подается 10 раз.Найти вероятность того,что принятых радиосигналов будет не менее 2 и не более 8.

6.21. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени,делая независимо друг от друга по одному выстрелу.Вероятность попадания в мишень для первого стрелка P 1 ,для второго P 2 .Рассматриваются две случайные величины: X 1 -число попаданий первого стрелка, X 2 -число попаданий второго стрелка и их разность Z=X 1-X 2 .Построить ряд распределения случайной величины Z и найти ее характеристики m 2, D 2.

7.21.Плотность распределения вероятности случайных амплитуд боковой качки

распределения случайной вели-

чины X ,б)математическое ожидание M[X] ,дисперсию D[X] ,среднее квадратическое тклонение x.

8.21.Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2.Найти среднее число отказавших деталей,если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

9.21.Найти дисперсию случайной величины,распределенной по нормальному закону,если известно,что отклонения от математического ожидания,не превосходящие 0,1 см,имеют место с вероятностью 0,788?

10.21. Совместное распределение (X,Y) задано формулами:

P(X=-1,Y=-1)=P(X=0,Y=-1)=P(X=1,Y=-1)=1/6,

P(X=-1,Y=1)=1/4, P(X=0,Y=1)=P(X=1,Y=1)=1/8.

Найти одномерные распределения X,Y и распределения u=X+Y.

11.21.Плотность совместного распределения системы случайных величин (x,y) f(x,y)=a Sin(x+y) в области D и f(x,y)=0 вне этой области.Область D определяется

в)определить коэффициент корреляции r x.