ДЗ по Т.В. по вариантам

ВАРИАНТ - 23

1.23. Опытпередача двух сигналов.Относительно перечисленных событий указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий: А - хотя бы один сигнал искажен, Б - хотя бы один сигнал не искажен.

2.23. Группа из n человек . в том числе А и В, располагается за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что между А и В будет сидеть ровно r человек (n 2r + 2) .

2.53. На 10 из 20 карточек написана цифра “1”, а на остальных 10 - цифра “0”. Пять карточек вынимают наугад. Найти вероятность того, что на двух карточках будет стоять цифра “1”, а на трех - цифра “0”(безразлично в каком порядке).

3.23. Найти наименьшее число монет, которое необходимо бросить, чтобы вероятность утверждения, что выпадет хотя бы один герб, превосходила 0,999.

3.53. Три исследователя, назависимо друг от друга производят измерения некторой изической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном изменении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

4.23. Имеются 10 урн с шарами: три урны - содержат каждая 15 белых, 5 черных и 10 красных шаров, две урны содержат по 10 белых, 5 черных и 5 красных шаров и пять урн - по 12 белых, 5 черных и 3 красных шара. Производится извлечение одного шара. Определить вероятность. Что шар был извлечен из первых трех урн, если он оказался белым.

4.53.На вход радиолакационного устройства с вероятностью “Р” поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью (1-р)- только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью Р1, если только помеха- с вероятностью Р2.Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.

5.23. На факультете 730 студентов. Вероятность рождения каждого студента в один день равна 1/365. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января и вероятность того, что найдутся ри студента с одним и тем же днем рождения.

5.53. Для поражения цели достаточно одного попадания.Найти вероятность поражения цели, если предполагается произвести 12 независимых выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,1 при каждом выстреле.

6.23. Распределение дискретной случайной величины Х есть

вероятности случайной величины Х. Определить: а) коэффициент А: б) функцию распределения F(x), в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не меньшее единицы.

8.23. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных.

9.23. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид

F (x) = e−2x2 +8x−2 Найти: 1) ; 2) математическое ожидание М[Х], дисперсию Д[Х], 3) вероятность выполнения неравенств 1 x 3.

10.23. Совместное распределение (Х,У) задано формулами

Р(Х=-1, У=-1)=Р(Х=0,У=-1)=Р(Х=1,У=-1)=1/6 Р(Х=-1, У=1)=1/4,

Р(Х=0,У=1)=Р(Х=1,У=1)=1/8. Найти МХ, МУ, DX, DY,kxy.

11.23. Плотность распределения вепроятностей двумерного случайного вектора (Х,У)имеет следующий вид:

= c(xy + y)2 , 0 x 2,0 y 2 f (x, y)

0

Вычислить :а) значение постоянной “с”; б) вероятность Р(Х+У 2); в) центр рассеивания.

ВАРИАНТ-24

1.24.Опыт-эксплуатируются два прибора в течение времени . Рассматривая события А - ни один прибор не вышел из строя, В - один прибор вышел из строя,а другой нет,

С - оба прибора вышли из строя, ответить на следующие вопросы:образуют ли они полную группу, являются ли несовместными, являются ли равновозможными.

2.24.Из тридцати карточек с буквами русского алфавита наугад выбираются карточки.Какова вероятность,что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово "небо".

2.54.В урне “a” белых и “ b” черных шаров.Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону.Этот шар оказался белым.После этого из урны берут еще один шар.Найти вероятность того,что этот шар тоже будет белым.

3.24.Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения номеров участникам соревнований.Два брака входят в состав различных команд.Найти вероятность того,что браться будут участвовать в соревнованиях под одним и тем же номером "5".

3.54.Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю.Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых.Какова вероятность для данной партии быть принятой,если она содержит 5% неисправных деталей?

4.24.Стрелковое отделение получило 10 винтовок,из которых семь пристрелянных и 3 непристрелянных.Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки составляет 0,8,а из непристрелянной(при тех же условиях)-0,4.Какова вероятность того,что стрелок,взяв наудачу винтовку и сделав из нее один выстрел,попадает в цель?

4.54.Группа студентов состоит из “a” отличников, “b” хорошо успевающих студентов и “c” занимающихся слабо.Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки.Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки.Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие,удовлетворительные и неудовлетворительные оценки.Для сдачи экзамена вызывается наугад один

студент.Найти вероятность того,что он получит хорошую или отличную оценку.

5.24.Найти вероятность того,что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700,если вероятность того,что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,62.

5.54.Транзисторный приемник смонтирован на 9 полупроводниках,для которых вероятность брака равна 0,05.Найти вероятность того,что радиоприемник будет неработоспособным,если он отказывает при наличии в нем не менее двух бракованных полупроводников.

6.24.В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различные) перегорела одна лампа.С целью устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта,после чего сразу проверяется работа приемника.Составить закон распределения числа замен ламп.

7.24.Случайная величина X может принимать только неотрицательные значения,функция распределения ее

f (x) = 1− e−k 2x2

Найти:а)плотность распределения вероятности, б)математическое ожидание M[X]. Построить графики f(x) и F(x).

8.24.По известному "правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти

P( X − mx 3Dx )

распределение.

9.24.Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.Какое из двух событий [X] 0,7 или [Х] 0,7 имеет большую вероятность?

10.24.Совместное распределение случайных величин определяется формулами

P(X=0,Y=1)=P(X=0,Y=-1)=P(X=1,Y=0)=P(X=-1,Y=0)=1/4.

Найти MX, MY, DX, DY, kху. Являются ли X,Y независимыми величинами?

11.24.Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по показательному закону с параметрами соответственно 1 и 2 .Найти P(X 1 -1, Y 2 -1).

2.25.Вычислить вероятность того,что дни рождения всех r (r 365)человек различны, располагая,что в году 365 дней и что все дни рождения одинаково вероятны для каждого человека.

2.55.В урне a белых и b черных шаров (a 2).Из урны вынимают сразу два шара.Найти вероятность того,что оба шара будут белыми.

3.25.Из полной колоды карт (52 листа)вынимаются сразу четыре карты.Найти вероятность того,что эти четыре карты будут разных мастей.

3.55.Ведется стрельба по самолету,уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота.Для того чтобы вывести из строя самолет,достаточно поразить два двигателя вместе или кабину пилота.Вероятность поражения первого двигателя равна 0,6, второго двигате- ля-0,75,кабины пилота - 0,5.Агрегаты самолета поражаются независимо друг от

друга.Найти вероятность того,что самолет будет поражен.

4.25.Два орудия открыли стрельбу по наступающему танку.Стрельба ведется поочередно,с темпом 10 с. выстрел. Вероятность попадания в танк при открытии огня из первого орудия 0,4, из второго -0,5.За каждые 10 с. вероятность попадания увеличивается на 0,05.После трех выстрелов обнаружено,что танк получил одну пробоину,но неизвестно при каком выстреле. Какова вероятность того,что первым открыло огонь первое орудие?

4.55.Производится один выстрел по плоскости,на которой расположены две цели:1 и 2. Вероятность попадания в цель 1 равна P1,в цель 2-Р2.После выстрела получено известие,что попадание в цель 1 не произошло.Какова теперь вероятность того,что

5.25.Завод выпускает 50% изделий первым сортом и,не сортируя, упаковывает все изделия в коробки по 8 штук изделий в каждой.Учитыв ая,что упаковываемые изделия отобраны случайно,вычислить вероятность того,что в коробке будет:а)изделий первого сорта три штуки, б)изделий первого сорта не менее 3 штук и не более 5.

5.55.Некоторое сообщение состоит из 12 символов:каждый символ представляет собой либо нуль,либо единицу.Вероятность появления нуля и единицы одинаковы и равны 0,5.Найти вероятность того,что нулей в сообщении будет не менее 4 и не более 8.

6.25.Имеется 5 ключей,из которых только один подходит к замку.Составить закон распределения числа опробований при открывании замка,если испробованный ключ в последующих опробованиях а)не участвует, б)участвует.

7.25.Случайная величина X имеет плотность распределения вероятности

Определить коэффициент "a" и построить график плотности.Найти функцию распределения F(x).

8.25.По известному "правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.Найти

P( X − mx 3Dx )

если X имеет:а)нормальное распределение,б)равномерное на отрезке [-1;1].

9.25.Случайная величина _2X_0 имеет нормальное распределение с параметрами

(0,1).Что больше: P(-0,5 X -0,1) или P(1 X 02)?

10.25.Случайные величины X1, X2, X3, X4, X 5 независимы; DXi= 2.

Найти: а) коэффициент корреляции величин X1+X2, X3+X4+X5;б)коэффициент корреляции величин X1+X2+X3,X3+X4+X5.

11.25.Функция совместного распределения двух случайных величин Xи Y имеет следующий вид:

Найти одномерные законы распределения компонент и решить вопрос об их зависимости или независимости.

ВАРИАНТ-26

1.26.Среди студентов,собравшихся на лекцию,выбирают наудачу одного.Пусть событие А заключается в том, что выбранный окажется юношей.Событие В- в том,что он играет на гитаре,а событие С- в том,что он живет в общежитии.Описать событие АВС.При каком условии будет иметь место тождество АВС=А? Когда будет равенство А=В? Будет ли оно иметь мео,если все юноши играют на гитаре?

2.26.Трое пассажиров входят в лифт пятиэтажного дома.Какова вероятность того,что двое из них выйдут на одном этаже?Вероятность выхода пассажиров на каждом этаже считается одинаковой.

2.56.Из ящика,содержащего n перенумерованных изделий,наугад вынимают одно за другим находящиеся в нем изделия,каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другим,а его номер записывается.Найти вероятность того,что будет записана естественная последовательность номеров:1,2..., n.

3.26.Вероятность того,что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равныP1 =0,8, P2= 0,4, P3 =0,7.Определить вероятность того,что встреча состоится,если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

3.56.Какова должна быть вероятность изготовления изделия,удовлетворяющего стандарту,чтобы с вероятностью,равной 0,9, можно было бы утверждать,что среди 20 изготовленных изделий хотя бы одно не удовлетворяло стандарту?

4.26. Стрелок A поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью P1=0,6, стрелокB -с вероятностью P2=0,5 и стрелок C-с вероятностью P3=0,4.Стрелки дали залп по мишени и две пули попали вцель.Что вероятнее:попал C в мишень или нет?

4.56.Расследуются причины авиационной катастрофы,о которых можно сделать четыре гипотезы:Н1,Н2,Н3,Н4. Согласно,статистике,Р(Н1)=0,2,Р(Н2)=0,4, Р(Н3)=0,3, Р(Н4)=0,1. Обнаружено,что в ходе катастрофы произошло воспламенение горючего,причем вероятности воспламенения горючего по каждой из четырех гипотез,согласно той же статистике,соответственно равны 0,9, 0, 0,2, 0,3.Найти апостериорные вероятности гипотез.

5.26.Найти наивероятнейшее число наступления ясных дней в течение первой декады сентября,если по данным многолетних наблюдений известно,что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней.

5.56.Школьники посадили на пришкольном участке 500 деревьев.В данных условиях вероятность того,что каждое дерево приживется,равна 0,6.Какое количество прижившихся деревьев наиболее вероятно?

6.26.В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 руб.,велосипед стоимостью 50 руб. и часы ценой 40 руб.Найти математическое ожидание выигрыша для лица,имеющего а)1 билет, б)2 билета,если общее число билетов равно 100.

7.26.Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

.

Найти коэффициент "a".Построить график плотности.Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал(1,2).

8.26.По известному "правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной величины от свого математического ожидания более,чем на три корня из дисперсии

если X распределена: а)нормально, б)по закону Пуассона с M[X]=0,09.

9.26.При измерении детали получаются случайные ошибки,подчиненные нормальному закону с = 10 мм.Найти вероятность того,что измерение будет произведено с ошибкой,не превосходящей 15 мм,не превосходящей 20 мм.

10.26.Дана таблица,определяющая закон распределения системы двух случайных величин (X,Y):

11.26.Случайные величины X и Y независимы и распределены следующим образом: X- по закону N(1,2), Y- по равномерному закону на отрезке [0,2]. Найти вероятность следующих событий:A{(X,Y) D} ,где область D={(x,y)(О x 2, 0 y 1);

B={X>Y}.

ВАРИАНТ-27

1.27.Производится наблюдение за группой,состоящей из четырех однородных объектов, каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен.

Рассматриваются события В-обнаружен хотя бы один объект,

С-обнаружено не менее двух объектов, D-обнаружено ровно два объекта, Е-обнаружено ровно три объекта, F-обнаружены все четыре объекта. Указать,в чем состоят события D+Е+F, ВС.

2.27.Общество из 10 человек садится на скамейку.Какова вероятность того,что два определенных лица окажутся рядом?

2.57.В отделение связи поступило 4 телеграммы,всего имеется четыре канала связи. Телеграммы случайным образом распределяются по каналам, каждая телеграмма с одной и той же вероятностью передается по любому из четырех каналов.Найти вероятность того,что на один из каналов попадут три телеграммы,на другой-одна,а два оставшихся канала будут незагружен.

3.27.В механизм входит три одинаковые детали.Работа механизма нарушается,если при его сборке будут поставлены все детали с размерами больше обозначенного на чертеже.У сборщика осталось 12 деталей,из которых 5 больших размеров.Найти вероятность нормальной работы первого собранного из этих деталей механизма,если сборщик берет детали наудачу.

3.57.Вероятность того,что танк наедет на мину,равна 0,4.Какова вероятность того,что танк подорвется на мине, если 15% мин имеют дефектные взрыватели?

4.27.В пирамиде установлены 5 винтовок,из которых 3 снабжены оптическим прицелом.

Вероятность того,что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки без оптического прицела,равна 0,7,для винтовки с оптическим прицелом эта вероятность равна 0,96.Найти вероятность того,что мишень будет поражена,если стрелок произведет выстрел из наудачу взятой винтовки.

4.57.Объект,за которым ведется наблюдение,может находиться в одном из двух состояний:Н1 и Н2. Априорные вероятности этих состояний Р(Н1)=0,3, Р(Н2)=0,7. Имеются два источника информации,которые дают разноречивые сведения о состоянии объекта :первый источник сообщает,что объект в состоянии Н1 , второй- в состоянии Н2. .Первый

источник вообще дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 90% случаев и только в 10% ошибается.Второй источник менее надежен:он сообщает правильные сведения в 70% случаев,а в 30% ошибается.На основе анализа донесений найти новые (апостериорные)вероятности состояний Н1 и Н2.

5.27.В ОТК поступила партия изделий.Вероятность того,что наудачувзятое изделие стандартного типа,равна 0,9.Найти вероятность того,что из 100 проверенных изделий окажется стандартных не менее 84.

5.57.Из семян данного растения обычно всходит 80%.Найти вероятность прорастания 425 семян из 500 посаженных.

6.27.Из ящика,содержащего 2 белых и 4 черных шара,вынимают 3 шара и перекладывают в другой ящик,где имелось 5 белых шаров.Найти математическое ожидание числа белых шаров X1 и X2 в обоих ящиках.

7.27.Случайная величина X задана функцией распределения

Вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (1; 2,5).Найти плотность распределения f(x) ,математическое ожидание M[X] ,дисперсию D[X].

8.27.Для случайной величины X ,распределенной по закону Пуассона,вычислить P(X=k)_0 ,математическое ожидание и дисперсию,если параметр a=0,3, k=2.

9.27.Автомат изготовляет подшипники,которые считаются годными,если отклонение X от проектного размера по модулю не превосходит 0,77мм.Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100,если X -случайная величина,распределенная нормально с =0,4мм?

10.27.Система случайных величин (X,Y) распределена по следующему закону:

Описать условный закон распределения случайной величины X ,при условииY=0, при этом условии вычислить условное математическое ожидание M[X\Y=0].

11.27.Случайная точка на плотности (X,Y) распределена по круговому нормальному закону (rxy=0, x= y= =1,)с центром рассеивания вачале координат.Вычислить вероятности следующих событий: A={Y>X}, B={ Y >X},C={Y<3X}, D={ X <1}, E={X<1,Y<2}.