ДИУ иванова билеты

1 2( )

всистсилу.

= ̇+ ̇= ( 11

+ 12 ) +

( 21 + 22

) = 11

2

+ ( 12+ 21) + 22

2

= 0

2

= 22 2

+ ( 12 + 21) + 11 = 0 1

, 2 −тангенсы угла наклона прямых на которых

расположены оси эллипса

Возвр. обратно

Центр (устойч., но не асим.)

2

̇= −

−

−1

̇=

+ 1 = 0

1,2 = ±

̇

1

− = 0

|(1,0) =

= 0

↓

|(1,0)

̇

1

Направление движенияпофазовым траекториям всегда можноопределить

по вектору скорости

̇

↓

= , посчитанному в любой точке, неявляющейся

точкой покоя

̇

< 0

↓|(1,0) = −01 устойчивый фокус

1

= 2

=

Кратные ненулевыедействительные корни

1) 2 ЛНЗ СВ 1 и 2

+ 2 ↓

=

1

2

= 1 ↓

+ 2

↓

= 1 ↓

1

2

1

2

1

и 2

−ЛНЗ образуют базис на плоскости

1, 2 ↓ = 1

↓ =

↓

+ 2 ↓

Всевозможные траекторииимеютвид

=

=

= −прямая, проходящая через точку

покоя по направлению±

< 0 ас.устойч.

> 0

неустойчивый

Такой типточки покоя называется дикритический узел

2) АК >ГК

!

ЛНЗ СВ 1

Пусть ↓1

−единственныйЛНЗ СВ,отв.

2

2

2

1

1

+ 2

1

+

2

, где

−какое-либо решениеА

=

Тогда = 1

+

↓1, ↓2 −ЛНЗ

↓

↓1, ↓2

↓

↓

↓

↓

↓

↓

Перейдемв базис

0

1

= 1 1 + 2

= 2

= ( 1

+ 2 )

= 0

Если 2

= 0

= 1

Если 2 ≠ 0

=

1+2 2

=

21

+ =

21

+

1 ln 2

=

21

+ ln 2

2 ≠ 0

−12

= 1

| 2| = 1

Пусть радипростоты = 1

Тогда = + ln| |

+ 1 = 2 + ln = 0

ln = −2

= 12

> 1

′ = 1 + ln

В целом фазовый портрет имеетвид : Такой тип точки называетсявырожденныйузел

При этом, если > 0, то точка покоя неустойчивая, а

если < 0, то асимптотически устойчива

0

Возвращаемся в исходный базис

( → +∞ → 0)

> 0

< 0

Кратные нулевые СЗ.

1

= 2 = 0

1) АК =ГК

1

+ 2

2

2 ЛНЗ 1, 2

= 1

↓

↓

, не изменяются при измененииt.

2)

= 1 1 + 2 1 + 2 ,

где

2 −решениеА 2

= 2

+ 1

↓

↓

↓

0

↓

1

↓

↓

↓

Перейдемв { 2, 1}:

= 1

1 + 2

= 1

−парам. уравнение прямой, проходящая через( 1, 2) в направлении (0,1)

= 1 + 2

̇

= 0

̇

2

Модель потоков движущиеся впротивоположных направлениях

= 1

11

+ 2

21

+ 2

11

В исходном базисе: = 1

12

+ 2

22

+ 2

12

2

= 0

= 1

11

=

= 1

12

11

12

12

̇

11

2

≠ 0

11

=

− 1 11− 2 21

− 1 12− 2 22

= 2

↓

=

12

̇

В этом случае нулевая точка покоя неустойчива. Любая т.,

находящаяся при t=0 сколь угодно близко к (0,0)

при t>0

покинет ееокрестность по прямолинейнойтраектории.

5. Теорема Ляпунова об устойчивости тривиального решения автономной системы

̇

1̇= 1

( 1

, … , )

или

…1

(1) ↓ = ↓( )

0

̇=

(

, … , )

Пусть = −точка покоя(положение равновесия) системы(1)(т.е. ↓

( ) = ↓) Далее

предполпгаем, что непр. с частными производными 1-го порядка в областиΩ включающей т.

покоя. Пусть ( ) непр. диф. в Ω

= ∑ =1

=

Опр.Производной функции ( ) в силу системы (1) называется |(1)

∑ =1 ( )

1) ( ) > 0

в ( )

2) ( )

̇

= 0 Отрицательно опр. Функция определяется аналогично

Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)

( > 0) и полож. опр.

Пусть (1) обладает т.покоя = (т.е. =

– ее решение). Если ( )

непр. диф. в ( ) функция ( ): |(1) ≤ 0

в ( ), то = −устойчивая точка покоя.

Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к

исследованиюнулевой точкипокоямодифицированнойсистемы (путемзамены переменных)

Если = −т.покоя(1)̃делаемзамену = + , тогда = 0 будет нулевой точкой покоя

̇

системы

↓ =

↓( + ) = ↓( ).Далее считаем = 0

Док-во: ( = 0, т.е. исс. на устойч. трив. реш.)

#Трив. решение (1)называется устойчивым , если > 0 ( ) > 0: ( ( , 0) ‖0‖ < )

| ( ,

)| <

≥ . Берем > 0. Пусть = min ,

2

> 0 и рассм.

1

0.Обозначим ее

0

. 1

0

1

границу 1

является замкнутымограниченным множеством непр. ( ) достиг. на ней

своей нижней грани,т.е 1 inf ( ) ≡

= ( )

в ост.т. 1 ( ) ≥

(2).

> 0:

Далее 0 = 0 и ( ) непрер.в

0

0 | ( )| < .

Выберем теперь в качестве любую точку в

0 и рассмотрим решение = ( , ).

=

|(1)

0

0

т.к. ( , 0) удов.сист (1) ≤

0 ( , 0) не возрастает

( , 0)

> 0

1

( , 0) < (3)

> 0

( , 0) не пересекает 1 т.е.не выходитза

пределы

0.

= . Тогда с одной стороны

##От противного: пусть ( , 0) пересек. 1в некот.т.

из(2)

( )

≥

из(3)

(

)

≤ −противоречие. ##

Таким образом любое решние,которое при = 0 наход. Внутри

1

0

0 останется внутри

0 и внутри

0 при > нулевое решение устойчиво.

Полож.опр. функция ( ) называетсяфункциейЛяпунова системы (1)

автономной системы 1̇= 1( 1

, … , )

̇

или

…1

(1) ↓ = ↓( )

)

0

̇=

(

, … ,

Пусть = −точка покоя(положение равновесия) системы(1)

(т.е. ↓

( ) = ↓) Далее

Опр.Производной функции ( ) в силу системы (1) называется |(1)

= ∑ =1

=

∑ =1

( )

( ) = { ‖ − ‖ < } и прокол.

Опр. Назовем −окрестностью т. покоя множество

−окрестностью– множество

( ) = { 0 < ‖

− ‖

< }

̇

Опр.Функция ( ) называется положительноопределенной в ( ) если:

1) ( ) > 0

в ( )

̇

2) ( ) = 0 Отрицательно опр. Функция определяется аналогично

Теор1. (Ляпунова об устойчивости точки покоя автономной системы)

( > 0) и полож. опр.

Пусть (1) обладает т. покоя =

(т.е. = – ее решение). Если ( )

непр. диф. в ( ) функция ( ):

|(1) ≤ 0 в

( ), то = −устойчивая точка покоя.

Замеч. Напомним, что исследование ненулевой точки покоя исходной системы можно свести к

исследованиюнулевой точкипокоямодифицированнойсистемы (путемзамены переменных)

Если = −т.покоя(1)̃делаемзамену = + ,

тогда = 0 будет нулевой точкой покоя

̇

системы ↓ = ↓( + ) =

( ).Далее считаем = 0

Теор 2. (Ляпунова об ас.

↓ус. т. покоя авт. системы)

( )

( ) −непр. и

Если кроме условийТеор1, выполнено, что в некоторой 1( )

положит. опр., такая что |(1) ≤ −( )

≥ 0, то = −асимп. устойчива.

Док-во:

требуется доказать, что ‖‖ <

≤

lim ‖( , )‖

= 0. Это равносильно

0

0

1

→+∞

0

тому, что lim ( , )

= 0 т.к. ( ) = 0

|

≤ 0, то ( , )

не

= 0. Поскольку

→+∞

0

(1)

0

возрастаетприувеличении t, икроме того ( , 0) ≥ 0. По теореме о существовании

предела умонотонной огр. функции, имеем

lim

( , ) =

≥

0.

→+∞

0

Покажем, что случай > 0 невозможен. От противного. Пусть > 0, тогда > 0

≤

( , 0) ≥ ( > 0 ‖( , 0)‖ ≥ > 0)

> 0

( , 0)

≥ > 0

|(1)

− < 0 ≥ 0

проинтегр. это неравенство поt (от 0 до t)

( , 0)

− ( 0) ≤ −( − 0) или

( , 0) ≤ ( 0) − ( − 0). Каково бы ни было ( 0)(огр. в силу непр. ) при дост. больших t

правая часть будет<0 приэтих же временах ( , 0) < 0, но ( )

−полож. опр. поэтому

невозможно - противоречие

= 0 т.е.

lim

( , ) = 0 , т.е.

lim

‖( , )‖

= 0 #

→+∞

0

→+∞

0

Полож.опр. функция ( ) называетсяфункциейЛяпунова системы (1)

7. Теорема Четаева о неустойчивости тривиального решения автономной системы

(1)

̇

( )

1̇= 1

( 1

, … , )

или

…1

↓ = ↓

)

̇=

(

, … ,

Теор3. (Чатаева о неустойчивости трив. решения автономной системы)

Пусть система (1) обладает трив. решениеми 0 > 0, область +(с границей Г +)

+

0

1) 0 Г

+

2) Г+

∩ 0

0 ( ) = 0

3)

∩

0

0 ( )

> 0

0

+

∩

(1)

≥ ( ), где ( )

−пол. опр. непр. в

4)

0

|

0 функция

Тогда трив. (нулевое)решение неустойчиво.

0

0

1

0

Док-во: тривиальноерешение неуст,если > 0

> 0

0

и0 >

‖ ( , 0)‖ ≥

0

. Покажем,что это так.Берем любые

> 0 ивыберем

0

≠ 0

+

Рассмотрим решение ( , 0) и функцию ( , 0). Тогда

0 ∩

|(1)

=

|(1) ≥ 0

( , 0)

( , 0) не убывает. Тогда траектория ( , 0) не пересечет Г +т.к. на этой линии ( ) = 0, а

0

0

0

0

+

∩

0

0

( , ) ≥ ( )

> 0 либо ( , ) остается для >

вобласти

0, либо ( , )

уходит изобласти через границу

0

0.

Покажем, что реш. ( , )

внутри

0 при достаточно больших t

не может остаться в

0

+

0

(предпол., что траектория не покидает +)

( 0) ≥ ( − 0) =

0 +

≥ > 0 (проинт.от 0 до ) ( ) −

, леж.внутри

0 −

( ) ≥

( ) + +∞, но ( ) − дифф. непрер. огр.в области

0

→∞

внутри

+

неверно.

0

противоречие предпол.о том, что ( , ) не покид.

0

0

ЧерезГ

0

+

0

+

траектория пройти не может онавыходит через границу

0

0

0

0

< ), все

Таким образом, как бы близко мы ни взялибы к 0 ( 0> 0 можем брать :

‖‖

равно при достаточно больших t траектория покинет

0. Это и есть неустойчивость.#

Замеч.Втеореме Чатаева Г

+

можетсостоять и только из одной точки

= 0. (До-во остается

примернотем же)

8. Исследование на устойчивость по первому (линейному) приближению. Доказательство

устойчивости в простейшем случае, когда все СЗ отрицательны и различны.

̇

1̇= 1

( 1

, … , )

или

…1

(1) ↓ = ↓( )

)

0

̇=

(

, … ,

Пусть = −точка покоя(положение равновесия) системы(1)

(т.е. ↓

( ) ≡ ↓). Будем считать,

виде ( )

=

( )

+ −

+

−

, где

= |=

−матрица первых производных,

↓

↓

↓

↓2

↓

↓

↓

2

↓

−

= (‖ − ‖)

↓

↓ ↓

≤ ‖ − ‖ k – некоторая константа, k > 0,т.е ↓

Лемма1.| +

| ≥

= (

+ )

Док-во:

|

+

| =

√

2

+ 2

≥

1

2

≤ 1

2

prav

Лемма2. ↓

↓

↓

Док-во:

1

2

2

2

2

2

2

1

…↓

1

=

=

,

≤

≤

↓

…

↓

↓

=

↓

↓

↓

=

↓

=1

=1

=1

↓

−1

2

2

≤ 2

Лемма3. 2:

↓

↓

↓

−1

Док-во:

2

2

2

2

2

= ∑

∑

2

∑

2

↓

=1

↓

≤

=1

↓

≤ ↓

=1

↓

(вроде похоже на

=

правду)

Теор. (Об устойчивости т. покоя авт. сис-мы по 1-му приближению)

Если все корни уравненияdet( − ) = 0 (1 часть) имеют отриц.действ. части, то точка покоя

= устойчива асимптотически, (2 часть) а если хотя бы один из корней имеет полож.действ.