МАТАН ЭКЗАМЕН / 30 / интегрирование тригонометрических выражений

Интегрирование тригонометрических выражений

I. Интегрирование выражений R(sinx, cosx)

Пусть  R(u,v) — рациональная функция двух переменных. Положим u = sin< var>x  и   v = cos x . Получится функция f(x) = R(sin x, cos x) . Она имеет период 2π . Поэтому ее первообразные достаточно найти на интервале ( −π, π) .

Интеграл от функции R(sinx, cosx) с помощью подстановки

x = 2arctg t     t = tg  x 2          x  (−π, π)     t  ( −∞, +∞)

(1)

всегда приводится к интегралу от рациональной функции переменной t. Поэтому он выражается через элементарные функции .

Действительно, подставляя в подынтегральное выражение

sin x = sin(2arctg t) =  2t 1 + t2   ,     cos x = cos(2arctg t) =  1 − t2 1 + t2   ,     dx = d(2arctg t) =  2 1 + t2   dt  ,

получаем

R(sinx, cosx)  dx   =   R     2t 1 + t2  ,    1 − t2 1 + t2        2 1 + t2   dt   =   R1(t) dt  .

Подстановка (1) называется универсальной.

Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) имеет специальный вид, то можно применить методы, требующие меньше преобразований, чем при использовании универсальной подстановки.

1. Если R(u, v) нечетна относительно v , то существует рациональная функция R_s(u, v) , такая что

R(u, v) = R_s(u, v²) · v .

Поэтому

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(sin x, cos2x)  cos x dx .

Подводя cos x под знак дифференциала, получаем

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(sin x, cos2x) dsin x .

Очевидно, что замена переменной t = sin x сводит задачу к интегрированию рациональной функции:

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs( t, 1 − t2 ) dt         при    t = sin x .

2. Если R(u, v) нечетна относительно u , то существует рациональная функция R_s(u, v) , такая что

R(u, v) = R_s(u², v) · u .

Поэтому

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(sin2x, cos x)  sin x dx  .

Подводя sin x под знак дифференциала, получаем

∫  R(sin x, cos x) dx   =   − ∫  Rs(sin2x, cos x) dcos x .

Очевидно, что замена переменной t = cos x сводит задачу к интегрированию рациональной функции:

∫  R(sin x, cos x) dx   =   − ∫  Rs(1 − t2, t) dt         при    t = cos x .

3. Если R(u, v) = R( − u,  − v) , то существует рациональная функция R_s( · ) одной переменной, такая что R(u, v) = R_s(u / v) . Поэтому

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(tg x) dx .

Функция R_s(tg x) периодична с периодом π . Поэтому допустима подстановка

x = arctg t     t = tg x         x  ( −π / 2, π / 2 )     t  ( −∞, +∞)

Имеем

∫  R(sin x, cos x) dx   =   ∫  Rs(tg x) dx   =   ∫  Rs(t)   1 1 + t2   dt         при     t = tg x .

II. Интегрирование выражений   sin^2mx · cos²ⁿx

Интегралы вида

∫ sin2mx · cos2nx dx,

 где m и n — натуральные числа, находятся с использованием формул понижения степени:

sin2x =  1 2   (1 − cos2x),     cos2x =  1 2   (1 + cos2x),     sinx · cosx =  1 2   sin2x .

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение содержит степени тригонометрических функций и их произведения.

III. Интегрирование выражений вида sin (αx) · sin (βx) ,     sin (αx) · cos (βx) ,     cos (αx) · cos (βx)  .

При интегрировании этих выражений используются тригонометрические формулы:

sin (αx) · sin(βx)   =    cos [(α − β)x] − cos [(α + β)x] 2

sin (αx) · cos (βx)   =    sin [(α + β)x] + sin [(α − β)x] 2

cos (αx) · cos (βx)   =    cos [(α + β)x] + cos [(α − β)x] 2  .

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение содержит произведения тригонометрических функций.