МАТАН ЭКЗАМЕН / 30 / дробно-линейных, квадратичных

1. Интегрирование дробно–линейных иррациональностей

R     x, p√  ax + b cx + d ,  q√ ax + b cx + d ,  …   

(1)

где R — рациональная функция и p , q,  … — натуральные числа.

При вычислении интегралов от функций вида (1) с помощью подстановки

x   =    tnd − b a − ctn  ,         tn   =    ax + b cx + d  ,

где n — общий знаменатель дробей 1/p, 1/q,  … , приходим к интегралам от рациональных функций t .

2. Интегрирование квадратичных иррациональностей

R(x, √ a2 ± x2 )  и  R(x, √ x2 − a2 )

где R — рациональная функция.

а) Для интегрирования выражений R(x, √

a2 − x2

) используются подстановки

x = a · sin t     или     x = a · cos t .

б) Для интегрирования выражений R(x, √

a2 + x2

) dx используются подстановки

x = a · tg t     или     x = a · sh t .

в) Для интегрирования выражений R(x, √

x2 − a2

) dx используются подстановки

x = 

a

cos t

     или     x = a · ch t .

Во всех случаях, применив формулу замены переменной в неопределенном интеграле, получаем интегралы вида

∫ Rs(sin t, cos t) dt ,

где R_s — рациональноя функция, т.е. задача сводится к интегрированию триглнометрических выражений.