эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / Эконометрика 2023

Где , Э – ошибки коэффициентов асимметрии и эксцесса, которые зависят только от объема выборки. Рассчитаем ошибки коэффициентов асимметрии и эксцесса по формулам (3):

гипотезу о нормальном распределении случайной величины X.

1.2 Проверка гипотезы о наличии равенстве средних и о равенстве дисперсий

Задача для решения в классе (пример 1.2)

Дана статистика Росстата ежегодных отчислений в ПФР с 2000 по 2016 гг. за счет налогов (Y1) и за счет средств федерального бюджета (Y2) на одного человека трудоспособного возраста, в ценах 2000 года, тыс. рублей. Исходные данные представлены в таблице Б.1 и рисунке Б.1 приложения Б и на. Необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий и о равенстве средних в ряду данных с 2000 по 2010 годы.

Решение

11

Рассмотрим период времени с 2000 по 2010 год. Осуществим подготовку данных: разобьем ряд на две подвыборки. Результаты расчетов сведем в таблицу

5.

Таблица 5 – Вспомогательные расчеты к примеру 1.2

генеральная дисперсия ряда в подвыборках 1 и 2 одинакова (дисперсии однородны).

12

1.2. Проверка гипотезы о равенстве средних.

Поскольку в предшествующей проверке подтвердилась основная гипотеза о равенстве дисперсий, сформулируем гипотезу о равенстве средних при равных дисперсиях.

H0: генеральное среднее ряда в подвыборках 1 и 2 постоянно при

Рассчитаем

КритическоезначениеопределяемпотаблицамраспределенияСтъюдента:

КРИТ ; 2 КРИТ 0,05; 9 2,26. Поскольку. | РАСЧ| КРИТ,

основная гипотеза о равенстве средних не отклоняется: средние двух периодов времени равны.

1.3 Реализация проверки гипотезы о равенстве дисперсий и о равенстве средних в Excel

Продемонстрируемработуиполучимотчетыкрешениюзадачи1.2 вExcel. Для реализации проверки гипотезы о равенстве дисперсий необходимо выбратьпунктменю«Анализданных»/»ДвухвыборочныйF-тестдлядисперсий»

(таблица 6)

В появившемся окне необходимо выбрать диапазоны ячеек, соответствующие подвыборкам 1 и 2. Здесь следует отметить, что для того,

13

чтобы отчет Excel полностью соответствовал ручному расчету, необходимо в первом диапазоне указывать подвыборку с большим значением дисперсии. Помимо этого, в Excel формулируется следующая альтернативная гипотеза:. Поэтому в отчете представлены значения односторонней критической области.

Таблица 6 – Двухвыборочный F-тест для дисперсии, Excel

Сформулируем вывод: так как F критическое одностороннее > F, принимается основная гипотеза о равенстве дисперсий (об этом свидетельствует такжеP(F<=f) одностороннее, котороепринялозначениеболеезаданногоуровня значимости 0,05). Для реализации гипотезы о равенстве средних необходимо в зависимости от выводов, полученных на этапе 1, выбрать один из пунктов меню:

«Анализ данных»/ «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями»;

«Анализ данных»/ «Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями».

Впоявившемся окне необходимо выбрать диапазоны ячеек, соответствующие подвыборкам 1 и 2 (таблица 7). Сформулируем вывод: поскольку при формулировании альтернативной гипотезы формируется двусторонняя критическая область, будем опираться на строки отчета P(T<=t) двухстороннее, t критическое двухстороннее. Так как расчетное значение t- статистики меньше t критическое двухстороннее, принимается основная гипотеза, средние двух подвыборок равны. Об этом свидетельствует также значение P(T<=t) двухстороннее, которое приняло значение заданного уровня значимости 0,05.

14

Таблица 7 – Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями, Excel

Для удобства анализа результатов ручного расчета и отчета Excel сведем все результаты в единую таблицу 8.

Таблица 8 - Сравнительный анализ результатов ручного расчета и отчета Excel

15

1.4 Задачи для самостоятельной отработки знаний навыков и умений

Задача1. Самостоятельное решение задач по теме 1.

Проверьтегипотезуоравенстведисперсийиоравенствесреднихдлярядов уровней безработицы в Германии и Италии (таблица 9).

Таблица 9 – Исходные данные к задаче 1. Самостоятельное решение.

16

Задача 2. Самостоятельное решение задач по теме 1.

Продавец утверждает, что средний вес пачки макарон составляет 100 г. Из партии извлечена выборка в 10 пачек (таблица 10). Должны ли мы принять гипотезу продавца? Доверительную вероятность считаем равной 99%.

Таблица 10 – Данные к задаче 2. Самостоятельное решение по теме 1.

Задача 3. Самостоятельное решение задач по теме 1.

Вытачиваемая на станке ось по ГОСТу должна иметь диаметр 100 мм. В выборке с n = 20 средний диаметр оказался равным 101 мм, а выборочная дисперсия составила 2. Соответствует ли станок ГОСТу? Доверительную вероятность считаем равной 99%.

Задача 4. Самостоятельное решение задач по теме 1.

На заводе сравнили производительность двух линий по выпуску удобрений (таблица 11). Можно ли считать, что производительность линий одинакова? Доверительную вероятность считаем равной 95%.

Таблица 11 – Данные к задаче 4. Самостоятельное решение по теме 1.

Задача 5. Самостоятельное решение задач по теме 1.

До наладки станка дисперсия диаметра выпускаемых им шариков составляла 8,7. После наладки она составила 5,8. В обоих случаях n = 15 (размер выборки). Можнолисчитать, чтоналадкастанкапрошлауспешноиеготочность увеличилась? Доверительную вероятность считаем равной 95%. Подсказка:

дисперсия биномиального распределения равна 1 .

Задача 6. Самостоятельное решение задач по теме 1.

На экзамене по прикладной математике из 200 задач первого раздела

студенты правильно решили 132 задачи, а из 300 задач второго раздела – 168. 17

Можно ли утверждать, что первый раздел курса студенты лучше усвоили, чем второй? Доверительнуювероятностьсчитаемравной99%. Подсказка: дисперсия

Задача 7. Самостоятельное решение задач по теме 1.

Выборочная проверка надежности ноутбуков двух производителей дала следующие результаты: в течение месяца после продажи в 15 случаях из 200 для ноутбуков марки А и в 25 случаях из 300 для ноутбуков марки В покупатели обратились к продавцу с жалобами на неполадки. Различается ли надежность ноутбуков двух производителей? Доверительную вероятность считаем равной

99%.

1.5 Решение тестовых заданий по теме 1.

Тестовое задание 1 по теме 1.

На графике закона распределения показателя X (функция f(X) на рисунке 2 по сравнению с нормальным законом наблюдается…

Рис. 2. Функция плотности распределения случайной величины

Варианты ответов:

А. правосторонняя асимметрия Б. левосторонняя асимметрия В. положительный эксцесс Г. отрицательный эксцесс

Решение

На графике наблюдается асимметрия. Асимметрия– это смещениесреднего значения левее или правее относительно моды. В пунктирном графике функции

18

плотности распределения случайной величины мода смещена влево относительно графика нормального закона распределения. Среднее значение расположено правее моды – наблюдается правосторонняя асимметрия.

Ответ: А.

Тестовое задание 2 по теме 1.

Имеется информация по двум выборкам:

Какую из гипотез следует выдвинуть при проверке равенства средних ?

Решение

Проверка гипотезы о равенстве средних осуществляется в 2 этапа. Этап 1. Проверка равенства дисперсий. Этап 2. Проверка равенства средних в зависимости от результата, который получился (то есть при равных или неравных дисперсиях). Так как значения дисперсий по выборкам известны, то вариант «с неизвестными значениями дисперсий» не подходит. Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле (4):

6

РАСЧ 2 9

Ответ. Г

1.6 Решение варианта контрольной работы №1 по теме 1

Задача 1. Контрольная работа 1. На основании значений показателя X из таблицы 12 нарисуйте гистограмму частот.

Таблица 12 – Исходные данные и вспомогательные расчеты задачи 1 контрольной работы 1.

20