эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / ЛабРаб_Эконометрика_ 2023

Построим и сравнив аналогичные графики для пола Female и в среднем, без учета пола. Результат представлен на рисунке 4.2.

Рис. 4.1. Построение диаграммы разброса по Male

Рис. 4.2. Сравнение диаграмм разброса

Чем ближе точки на графике разброса расположены к воображаемой прямой, тем теснее линейная взаимосвязь. MS Excelпозволяет построить на графике разброса линию регрессии: «Конструктор диаграмм» → «Добавить элемент диаграммы» → «Линейный».

51

Судя по результатам, для пола Male значения Х и Y связаны слабо или не связаны вообще; для пола Female, так и для третьего, усредненного случая, – связь отрицательная.

Скорее всего, это связано с экономическим положением исследуемых стран: например, в некоторых может быть настолько высок уровень здравоохранения, что повышенное потребление алкоголя (например, национальных напитков) серьезного влияния не имеет и наоборот говорит о достаточном уровне экономического благосостояния. Другой причиной может

корреляции Пирсона и проверив его на значимость. Коэффициент корреляции для пары показателей можно рассчитать с помощью функции «КОРРЕЛ». Тем не

где – объем выборки, ̅– выборочное среднее Х, – выборочное среднее Y. Расчеты на примере выборки со значением Male отображены на рисунке

4.3.

Сначала необходимо рассчитать выборочное среднее ̅ 9,87 и 22,62. Затем для каждой страны были найдены отклонения текущих значений и от соответствующих средних. Суммы их преобразований были подставлены в формулу (4.1). Получим значение коэффициента корреляции, равное -0,17.

Рис. 4.3. Расчеты коэффициента парной корреляции Пирсона

52

Положительное значение коэффициента говорит о прямой связи между показателями, отрицательное – об обратной. Чем ближе значение отдельного коэффициента к 1 или -1, тем теснее взаимосвязь между соответствующими переменными. Для интерпретации можно использовать шкалу Чеддока, представленную в таблице 4.1. Общее потребление алкоголя на душу населения (15+) слабо связано с вероятностью смерти в возрасте от 30 до 70 лет от любого из сердечно-сосудистых заболеваний, рака, диабета или хронических респираторных заболеваний (при условии пола Male), направление связи – обратное.

Необходимо оценить, справедливы ли полученные выводы на генеральной совокупности, то есть оценить значимость коэффициента корреляции. Нулевая гипотеза означает незначимость коэффициента:

Результаты расчетов – на рисунках 4.4, 4.5. Так как расчетное значение ̂по модулю меньше критического, то нулевую гипотезу следует принять – коэффициент корреляции незначим, связь между показателями (при условии Male) в реальности отсутствует.

Рис. 4.4. Оценка значимости коэффициента корреляции (при условии

Male)

53

Рис. 4.5. Оценка значимости коэффициента корреляции при всех вариантах

В качестве иллюстрации выберем вариант анализа при условии пола Female, так как в этом случае формально связь теснее. Поскольку связь между Y и Х недостаточно тесная, мы не можем ожидать высокой точности от регрессионной модели.

Построим на этой выборке модель парной линейной регрессии вида (4.3), отражающую зависимость Y от Х.

полей в открывшемся окне настройки процедуры представлено на рисунке 4.6 – в основном, оно аналогично предыдущим задачам. Выделяем в качестве входных интервалов столбцы вместе с первой строкой, содержащей заголовки, и отмечаем опцию «Метки».

Рис. 4.6. Настройка расчетов по построению парной линейной регрессии

54

По умолчанию константа в модели присутствует, поэтому опцию «Константа – ноль» оставляем без изменений. Отчет по вычислениям представлен на рисунке 4.7.

Рис. 4.7. Отчет по построению парной линейной регрессии

Значения оценок находятся в столбце «Коэффициенты»: «Y-пересечение»

-это , Х - . Воспользуемся формулой (4.3) и запишем построенную модель

вявном виде:

детерминированных факторов, исследуемая вероятность смерти в возрасте от 30 до 70 лет (для женщин) составляет 22,39%. Если общее потребление алкоголя среди женщин станет больше на 1 литр (чистого алкоголя), то вероятность смерти сократится в среднем на 2,11%. Заметим, что вывод об обратной связи мы уже получали в рамках корреляционного анализа.

Столбцы «Нижние 95%» и «Верхние 95%» показывают соответственно нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала оценок параметров. Эти значения говорят о том, что, например, реальное значение константы модели с вероятностью 0,95 лежит в интервале от 19,98 до 24,79.

Значения столбца «Стандартная ошибка» для коэффициентов модели равны величине saj, стандартной ошибке параметра регрессии.

В связи с необходимостью получения надежных результатов анализа встает вопрос о критериях оценки качества модели. Эта проблема решается в

55

рамках дисперсионного анализа модели линейной регрессии. Оценим значимость модели с помощью таблицы «Дисперсионный анализ».

С помощью F-критерия Фишера проверяется гипотеза о незначимости регрессии (модели) в целом:

Н0 : а0 = а1 = … = аm = 0

m

Н1 : aj 0

j 0

Расчетное значение статистики Фишера, согласно отчету, равно 33,1 («F»). Критическое значение статистики Фишера равно F ( m; n – m – 1) = F0,05(1; 70 – 1 – 1) =F0,05(1; 68), где m – количество факторов модели. В MS Excelесть встроенная функция для определения этого критического значения. Это функция =F.ОБР.ПХ( ; m; n – m – 1). Для решения примера необходимо задать параметры =F.ОБР.ПХ(0,05;1;68), что даст результат 3,98. Расчетное значение больше критического, следовательно, нулевую гипотезу о незначимости модели в целом принимать не следует.

Альтернативный способ проверки гипотезы – по р-значению F-критерия («Значимость F»). Согласно рисунку 34, р-значение меньше уровня значимости, следовательно, модель значима в целом.

Далее оценим значимость коэффициентов модели с помощью критерия Стьюдента. Для каждого коэффициента проверяется нулевая гипотеза о незначимости:

Н0 : аj = 0 Н1 : аj ≠ 0

Критическое значение статистики Стьюдента равно t /2(n – m – 1) = t0,025(70

– 1 – 1) =t0,025(68). В MS Excelесть встроенная функция для определения критического двухстороннего значения. Это функция =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х( ; n – m – 1). Для решения примера необходимо задать параметры =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;68), что даст результат 1,996.

Теперь необходимо сравнить каждое значение столбца «t-статистика», чтобы оценить значимость полученных оценок. Например, расчетное значение t- статистики константы («Yпересечение- », а0) равно 18,56, что больше критического значения. Следовательно, нулевую гипотезу о незначимости константы следует отвергнуть, то есть константа значима.

Отметим, что здесь также можно использовать альтернативный способ проверки гипотез – по р-значению критерия Стьюдента (столбец «Р-значение»).

Врезультате мы показали, что построенная модель имеет смысл (значима

вцелом) и содержит только значимые коэффициенты. Теперь оценим (с

56

помощью таблицы «Регрессионная статистика»), насколько качественно эта модель описывает реальные данные.

Общепринятым показателем качества построения модели множественной

регрессии является коэффициент детерминации R2 . Он показывает долю вариации зависимой переменной, которая объясняется влиянием совокупности независимых переменных модели. Значения коэффициента детерминации

изменяются от 0 до 1. Чем ближе R2 к 1, тем большая доля изменений независимой переменной объясняется влиянием включенных в модель независимых переменных, то есть тем выше качество модели. Согласно рисунку 34, коэффициент детерминации составляет 33%, что говорит об умеренном качестве модели

Еще один показатель качества модели – стандартная ошибка, которая оценивается как стандартное отклонение модельных значений от фактических значений у. Это, в большей степени, сравнительный показатель – лучшей считается та модель, у которой меньшее значение стандартной ошибки.

В конце рассчитаем коэффициент эластичности по формуле (4.4). Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится зависимая переменная, если соответствующая независимая изменится на 1%.

Подставляем в формулу (4.4) значения:

Иными словами, на основе построенной модели получаем, что при изменении общего потребления алкоголя на 1%, вероятность смерти от 30 до 70 лет (для женщин) снизится на 0,92%.

Пример реализации лабораторной работы №4

В качестве исходных данных к лабораторной работы 4 рассматриваются два показателя «ожидаемая продолжительность жизни» и «уровень младенческих смертей» по двум группам стран «Развитые страны» и «Развивающиеся страны». Число наблюдений первой группы стран составляет 28 стран. Вторая группа стран содержит 116 наблюдений.

Фрагмент исходных данных представлен на рисунке 4.8.

57

Рис. 4.8. Фрагмент исходных данных для лабораторной работы 4.

Задание 1. Графики разброса по двум группам стран представлены на рисунках 4.9, 4.10. Из диаграмм видно, что можно выделить группы стран, со схожими характеристиками.

Рис. 4.9. Диаграмма разброса по развитым странам

Однако линейная связь между переменными «ожидаемая продолжительность жизни» и «уровень младенческих смертей» на основании диаграмм как по развитым, так и по развивающимся странам не прослеживается. Наблюдается обратная связь между переменными, то есть чем выше

58

младенческая смертность, тем ниже ожидаемая продолжительность жизни. В развитых странах высокая младенческая смертность скорее всего может быть связана с плохим состоянием здоровья в целом населения страны. А для развивающихся стран это может быть связано с плохим состоянием отрасли здравоохранения.

Рис. 4.10. Диаграмма разброса по развивающимся странам

Задание 2.

Расчеты коэффициента корреляции Пирсона представлены в таблице 4.2. Таблица 4.2 -Расчет коэффициента корреляции по формулам вручную

задания 2. Лабораторная работа 4.

59

Продолжение таблицы 4.2

Коэффициент корреляции Пирсона примет значение

представлена для развитых стран на рисунке 4.11, для развивающихся стран на рисунке 4.12.

Рис. 4.11. Матрица корреляций по группе развитых стран

Рис. 4.12. Матрица корреляций по группе развивающихся стран

60